Какую наименьшую работу нужно выполнить, чтобы растянуть пружину от точки х1=3,0 см до точки х2=6,0 см, если на рисунке

Зинаида

15

Хорошо, чтобы растянуть пружину от точки \(x_1 = 3,0\) см до точки \(x_2 = 6,0\) см, нам необходимо вычислить работу.

Работа, совершенная при растяжении пружины, можно найти, используя интеграл энергии упругой деформации. Энергия упругой деформации пружины определяется формулой:

\[E = \frac{1}{2} k (x_2^2 - x_1^2)\]

где \(k\) - модуль силы упругости пружины.

На графике дана зависимость модуля силы упругости \(k\) от модуля деформации пружины. Мы можем заметить, что график представляет собой прямую линию, поэтому можем использовать уравнение прямой для выражения \(k\) через \(x\):

\[k = \frac{F}{x}\]

где \(F\) - сила, \(x\) - деформация пружины.

Мы знаем, что работа \(W\) вычисляется как интеграл силы по пути:

\[W = \int_{x_1}^{x_2} F\,dx\]

Используем уравнение \(k = \frac{F}{x}\) для выражения силы \(F\) через \(x\):

\[W = \int_{x_1}^{x_2} k \cdot x\,dx\]

\[W = \int_{x_1}^{x_2} \frac{F}{x}\cdot x\,dx\]

\[W = \int_{x_1}^{x_2} F\,dx\]

Так как \(F = k \cdot x\):

\[W = \int_{x_1}^{x_2} (k \cdot x)\,dx\]

Подставляем значение \(k = \frac{1}{5}\) Н/см (см. график):

\[W = \frac{1}{5} \int_{x_1}^{x_2} x\,dx\]

Теперь интегрируем по \(x\) от \(x_1\) до \(x_2\):

\[W = \frac{1}{5} \left(\frac{1}{2}x^2\right) \bigg|_{x_1}^{x_2}\]

\[W = \frac{1}{5} \left(\frac{1}{2}x_2^2 - \frac{1}{2}x_1^2\right)\]

\[W = \frac{1}{5} \left(\frac{1}{2}(6,0)^2 - \frac{1}{2}(3,0)^2\right)\]

Теперь мы можем вычислить значение работы \(W\):

\[W = \frac{1}{5} \left(\frac{1}{2} \cdot 36,0 - \frac{1}{2} \cdot 9,0\right)\]

\[W = \frac{1}{5} \left(18,0 - 4,5\right)\]

\[W = \frac{1}{5} \cdot 13,5\]

\[W = 2,7\]

Итак, наименьшая работа, которую нужно выполнить, чтобы растянуть пружину от точки \(x_1 = 3,0\) см до точки \(x_2 = 6,0\) см, составляет 2,7 Дж (джоулей).