Какую неизвестную координату точки a нужно определить, чтобы все три точки a(x; -4; -2), b(-4; -8; -6) и c(2

Тарантул

18

Для того чтобы определить неизвестную координату точки \(a\), при которой все три точки \(a(x;-4;-2)\), \(b(-4;-8;-6)\) и \(c(2;4;6)\) лежат на одной прямой, мы можем воспользоваться свойствами векторного произведения.

1. Векторное произведение: Пусть у нас есть два вектора \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\), где \(A\), \(B\) и \(C\) - точки в трехмерном пространстве. Векторное произведение \(\vec{AB} \times \vec{AC}\) равно нулю, если эти вектора коллинеарны, то есть лежат на одной прямой.

2. Формула векторного произведения: Для двух векторов \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}\) и \(\vec{w} = \begin{pmatrix} w_x \\ w_y \\ w_z \end{pmatrix}\), их векторное произведение \(\vec{v} \times \vec{w}\) рассчитывается:

\[
\vec{v} \times \vec{w} = \begin{pmatrix} v_yw_z - v_zw_y \\ -(v_xw_z - v_zw_x) \\ v_xw_y - v_yw_x \end{pmatrix}
\]

3. Применим формулу векторного произведения: Вектор \(\vec{AB} = \vec{B}-\vec{A}\), где \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\) - координаты точек \(A\) и \(B\) соответственно.

Найдем векторное произведение \(\vec{AB} \times \vec{AC}\) и приравниваем его к нулю:

\[
\begin{pmatrix} B_x - A_x \\ B_y - A_y \\ B_z - A_z \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} C_x - A_x \\ C_y - A_y \\ C_z - A_z \end{pmatrix} = 0
\]

Подставим координаты точек, получим уравнение:

\[
\begin{pmatrix} -4 - x \\ -8 + 4 \\ -6 + 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 - x \\ 4 + 4 \\ 6 + 2 \end{pmatrix} = 0
\]

Раскроем векторное произведение по формуле:

\[
\begin{pmatrix} -4 - x \\ -4 \\ -4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 - x \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-4) \cdot 8 - (-4) \cdot 8 \\ -(-4) \cdot (2 - x) - (-4) \cdot 8 \\ (-4) \cdot (2 - x) - (-4) \cdot 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 4x - 16 \\ -4x + 32 \end{pmatrix}
\]

Получили систему уравнений:

\[
\begin{cases} 0 = 0 \\ 4x - 16 = 0 \\ -4x + 32 = 0 \end{cases}
\]

Решив эту систему уравнений, получим значение \(x\):

\[
\begin{cases} x = any \\ x = 4 \\ x = 8 \end{cases}
\]

Ответ: Для того чтобы все три точки \(a(x;-4;-2)\), \(b(-4;-8;-6)\) и \(c(2;4;6)\) лежали на одной прямой, неизвестная координата точки \(a\) должна быть равной либо 4, либо 8.