Какую плоскость следует провести через точку k - середину ребра aa₁ и точку b, чтобы она была параллельна диагонали?

Kirill

48

Чтобы определить плоскость, которая проходит через точку \(k\), середину ребра \(aa_1\), и параллельна диагонали, мы можем использовать следующий подход.

1. Рассмотрим треугольник \(aba_1\). Мы знаем, что точка \(k\) является серединой ребра \(aa_1\), поэтому вектор \(\overrightarrow{ak}\) будет равен вектору \(\overrightarrow{ka_1}\) в силу свойства середины. Это можно записать как:
\(\overrightarrow{ak} = \overrightarrow{ka_1}\)

2. Теперь рассмотрим вектор \(\overrightarrow{bc}\), где точка \(c\) находится на диагонали. Чтобы плоскость была параллельна диагонали, векторы \(\overrightarrow{ak}\) и \(\overrightarrow{bc}\) должны быть коллинеарными. Это означает, что мы можем записать:
\(\overrightarrow{ak} = t \cdot \overrightarrow{bc}\),
где \(t\) является некоторым числом.

3. Вектор \(\overrightarrow{bc}\) можно найти, используя координаты точек \(b\) и \(c\):
\(\overrightarrow{bc} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}\).

4. Мы можем записать уравнение, используя вектор \(\overrightarrow{ak}\), вектор \(\overrightarrow{bc}\) и точку \(k\):
\(\overrightarrow{ak} = t \cdot (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{k}\).

5. Приведем это уравнение к виду уравнения плоскости. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\(\overrightarrow{ak} = t \cdot \overrightarrow{c} - t \cdot \overrightarrow{b} + \overrightarrow{k}\).

6. Учитывая, что \(\overrightarrow{ak} = \overrightarrow{ka_1}\), преобразуем уравнение:
\(\overrightarrow{ka_1} = t \cdot \overrightarrow{c} - t \cdot \overrightarrow{b} + \overrightarrow{k}\).

7. Заменим векторы и точки координатами:
\(\begin{pmatrix} x_{a_1} - x_k \\ y_{a_1} - y_k \\ z_{a_1} - z_k \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} x_c - x_b \\ y_c - y_b \\ z_c - z_b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_k \\ y_k \\ z_k \end{pmatrix}\).

8. Разделим это уравнение на \(t\) и приравняем координаты по отдельности:
\(\frac{x_{a_1} - x_k}{t} = x_c - x_b + x_k\),
\(\frac{y_{a_1} - y_k}{t} = y_c - y_b + y_k\),
\(\frac{z_{a_1} - z_k}{t} = z_c - z_b + z_k\).

9. Из полученных уравнений можно найти координаты точки \(c\):
\(x_c = \frac{x_{a_1} - x_k}{t} - x_b + x_k\),
\(y_c = \frac{y_{a_1} - y_k}{t} - y_b + y_k\),
\(z_c = \frac{z_{a_1} - z_k}{t} - z_b + z_k\).

Теперь у нас есть координаты точки \(c\), через которую проходит плоскость, параллельная диагонали треугольника \(aba_1\) и проходит через точку \(k\).