Какую собственную скорость теплохода нужно найти, если известно, что он двигаясь по течению на путь в 572 км затратил

Глеб

45

Данная задача можно решить с помощью алгебраических выкладок и уравнений. Давайте разберем ее пошагово.

Обозначим скорость теплохода как \(V_{\text{теплохода}}\).

Путь, пройденный по течению, равен 572 км. Время, затраченное на это путешествие, обозначим как \(t_{\text{по течению}}\).

Путь, пройденный против течения, также равен 572 км (поскольку путь туда и обратно одинаковый). Время, затраченное на это путешествие, обозначим как \(t_{\text{против течения}}\).

Также известно, что теплоход затратил на 2 часа меньше на путь по течению, чем на путь против течения. То есть:
\[t_{\text{по течению}} = t_{\text{против течения}} - 2\]

Для нахождения скорости теплохода воспользуемся формулой скорости:
\[V = \frac{S}{t},\]
где \(V\) - скорость, \(S\) - путь, \(t\) - время.

Сначала рассмотрим путь по течению. Запишем уравнение для скорости:
\[V_{\text{теплохода}} + 4 = \frac{572}{t_{\text{по течению}}}\]

Теперь рассмотрим путь против течения и запишем уравнение для скорости:
\[V_{\text{теплохода}} - 4 = \frac{572}{t_{\text{против течения}}}\]

Также известно, что время на путь по течению на 2 часа меньше, чем время на путь против течения. Подставим это в уравнение:
\[t_{\text{по течению}} = t_{\text{против течения}} - 2\]

Теперь у нас есть система уравнений, состоящая из трех уравнений. Решим ее, чтобы найти значение скорости теплохода.

1. Подставим \(t_{\text{по течению}} = t_{\text{против течения}} - 2\) в уравнения для скоростей:
\[V_{\text{теплохода}} + 4 = \frac{572}{t_{\text{против течения}} - 2}\]
\[V_{\text{теплохода}} - 4 = \frac{572}{t_{\text{против течения}}}\]

2. Теперь выразим \(t_{\text{против течения}}\) через \(V_{\text{теплохода}}\):
\[\frac{572}{t_{\text{против течения}} - 2} - \frac{572}{t_{\text{против течения}}} = 8\]

3. Упростим уравнение:
\[\frac{572t_{\text{против течения}}}{t_{\text{против течения}} - 2} - \frac{572(t_{\text{против течения}} - 2)}{t_{\text{против течения}}} = 8\]

4. Помножим обе части уравнения на \(t_{\text{против течения}}(t_{\text{против течения}} - 2)\):
\[572t_{\text{против течения}} - 572(t_{\text{против течения}} - 2) = 8t_{\text{против течения}}(t_{\text{против течения}} - 2)\]

5. Раскроем скобки:
\[572t_{\text{против течения}} - 572t_{\text{против течения}} + 1144 = 8(t_{\text{против течения}}^2 - 2t_{\text{против течения}})\]

6. Упростим уравнение:
\[1144 = 8t_{\text{против течения}}^2 - 16t_{\text{против течения}}\]

7. Перенесем все в одну сторону и упростим:
\[8t_{\text{против течения}}^2 - 16t_{\text{против течения}} - 1144 = 0\]

8. Решим полученное квадратное уравнение. Для этого воспользуемся квадратным корнем:
\[t_{\text{против течения}} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Где \(a = 8\), \(b = -16\), \(c = -1144\). Подставим значения и решим:
\[t_{\text{против течения}} = \frac{-(-16) \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1144)}}{2 \cdot 8}\]
\[t_{\text{против течения}} = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 36448}}{16}\]
\[t_{\text{против течения}} = \frac{16 \pm \sqrt{36704}}{16}\]
\[t_{\text{против течения}} = \frac{16 \pm 191}{16}\]

Возможны два варианта:

- Вариант 1:
\[t_{\text{против течения}} = \frac{16 + 191}{16} = \frac{207}{16} = 12.9375\] часов.

- Вариант 2:
\[t_{\text{против течения}} = \frac{16 - 191}{16} = \frac{-175}{16} = -10.9375\] часов.

Очевидно, что время не может быть отрицательным, поэтому вариант 2 неправильный.

Теперь, когда мы знаем значение \(t_{\text{против течения}}\), можем найти значение \(t_{\text{по течению}}\):
\[t_{\text{по течению}} = t_{\text{против течения}} - 2 = 12.9375 - 2 = 10.9375\] часов.

Осталось найти скорость теплохода, используя любое из уравнений скорости:
\[V_{\text{теплохода}} = \frac{572}{t_{\text{по течению}}} - 4 = \frac{572}{10.9375} - 4 = 52 - 4 = 48\] км/ч.

Итак, ответ: собственная скорость теплохода составляет 48 км/ч.