На сколько раз уменьшился определитель квадратной матрицы А третьего порядка, если все элементы второй строки были

Daniil

8

Для начала, нам нужно знать, какое число использовалось для деления элементов второй строки матрицы А. Предположим, что все элементы второй строки были равнозначно поделены на какое-то число k.

Определитель квадратной матрицы третьего порядка вычисляется по формуле:

\[
det(A) = a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} + a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} - a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31} - a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32} - a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}
\]

где \( a_{ij} \) обозначает элемент матрицы А на позиции (i, j).

Теперь, когда мы разделили все элементы второй строки на число k, наша новая матрица будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} / k & a_{22} / k & a_{23} / k \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}
\]

Теперь, чтобы найти новый определитель, мы просто подставим новые значения в формулу определителя:

\[
det(A") = a_{11} \cdot (a_{22}/k) \cdot a_{33} + (a_{12}/k) \cdot a_{23} \cdot a_{31} + a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} - a_{13} \cdot (a_{22}/k) \cdot a_{31} - a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32} - (a_{12}/k) \cdot a_{21} \cdot a_{33}
\]

Упростим эту формулу:

\[
det(A") = (a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} - a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32}) + \frac{1}{k} \cdot (a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} - a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}) + (a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} - a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31})
\]

Теперь, чтобы найти насколько раз уменьшился определитель, нам нужно вычислить разность между изначальным определителем \( det(A) \) и новым определителем \( det(A") \):

\[
уменьшение = det(A) - det(A")
\]

Вычислим уменьшение определителя, используя конкретное значение \( k \):

\[
уменьшение = (a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} + a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} - a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31} - a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32} - a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}) - ((a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} - a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32}) + \frac{1}{k} \cdot (a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} - a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}) + (a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} - a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31}))
\]

Таким образом, уменьшение определителя матрицы А третьего порядка после деления элементов второй строки на число k будет равно этому выражению. Вы можете вычислить значение этого выражения, подставив конкретные значения элементов матрицы А и значения k.