Кез келген натурал саны n ушин, n^4+3n^3-n^2-3n выражениянын 6ге бөлінуі мүмкін болатынын көрсету үшін сізге далел

Zmeya

38

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Нам нужно определить, при каком значении натурального числа \(n\) выражение \(n^4 + 3n^3 - n^2 - 3n\) делится на 6.

Шаг 1: Факторизация числа 6

Для начала разложим число 6 на простые множители: \(6 = 2 \cdot 3\).

Шаг 2: Разложение выражения

Разложим данное выражение \(n^4 + 3n^3 - n^2 - 3n\) на множители:

\[
n^4 + 3n^3 - n^2 - 3n = n(n^3 + 3n^2 - n - 3)
\]

Шаг 3: Проверка деления на 2

Теперь проверим, когда это выражение может делиться на 2. Для этого найдем остаток от деления \(n\) на 2 и рассмотрим два случая:

1) Если \(n\) четное число (остаток от деления на 2 равен 0), тогда идем дальше и проверяем деление на 3.
2) Если \(n\) нечетное число (остаток от деления на 2 равен 1), тогда выражение \(n(n^3 + 3n^2 - n - 3)\) не будет делиться на 2.

Шаг 4: Проверка деления на 3

Теперь проверим, когда это выражение делится на 3. Для этого найдем остаток от деления суммы цифр числа \(n\) на 3 и рассмотрим два случая:

1) Если сумма цифр числа \(n\) делится на 3 без остатка, тогда выражение \(n(n^3 + 3n^2 - n - 3)\) делится на 3.
2) Если сумма цифр числа \(n\) дает остаток 1 или 2 при делении на 3, тогда выражение \(n(n^3 + 3n^2 - n - 3)\) не делится на 3.

Итак, мы разобрали все случаи. Выражение \(n(n^3 + 3n^2 - n - 3)\) будет делиться на 6 только в тех случаях, когда:

1) Число \(n\) является четным числом, а сумма его цифр делится на 3 без остатка.
2) Число \(n\) является нечетным числом, а сумма его цифр дает остаток 0 при делении на 3.

Надеюсь, эта подробная информация помогла вам понять, как найти значения \(n\), для которых выражение \(n^4 + 3n^3 - n^2 - 3n\) делится на 6.