Когда значение а наименьшее, уравнение -х3–3х2 +8 -а=0 имеет два корня

Космическая_Следопытка

25

Чтобы найти наименьшее значение для переменной а, необходимо использовать методы анализа уравнений. Давайте решим данную задачу пошагово.

Шаг 1: Запишем уравнение

У нас дано уравнение \(-x^3 - 3x^2 + 8 - a = 0\).

Шаг 2: Подготовим уравнение для решения

Мы хотим найти наименьшее значение а, при котором уравнение имеет два корня. Значит, количество корней должно быть равно 2.

Шаг 3: Используем теорему о количестве корней уравнения

Уравнение третьей степени (кубическое уравнение) может иметь максимум 3 корня. Если количество корней меньше 3, то оставшийся корень может быть мнимым числом.

Шаг 4: Найдем производную уравнения

Для того чтобы определить экстремумы в функции, найдем производную и приравняем ее к нулю. После этого проверим, какие значения а приводят к двум корням уравнения.

Берем производную уравнения: \(-3x^2 - 6x = 0\).

Шаг 5: Решим производную уравнения

\[x(-3x - 6) = 0\]

Получаем два возможных значения x: \(x = 0\) или \(x = -2\).

Шаг 6: Подставим найденные значения x в исходное уравнение и решим его

Подставим \(x = 0\):

\(-0^3 - 3(0)^2 + 8 - а = 0\)

Упрощаем:

\(0 + 0 + 8 - а = 0\)

\(8 - а = 0\)

\(а = 8\)

Подставим \(x = -2\):

\(-(-2)^3 - 3(-2)^2 + 8 - а = 0\)

Упрощаем:

\(2^3 - 3(2)^2 + 8 - а = 0\)

\(8 - 12 + 8 - а = 0\)

\(4 - а = 0\)

\(а = 4\)

Шаг 7: Проверим полученные значения а

Мы получили две возможных оптимальных значения для а: 8 и 4. Теперь проверим, сколько корней у уравнения при данных значениях а.

Подставим а = 8:

\(-x^3 - 3x^2 + 8 - 8 = 0\)

Упрощаем:

\(-x^3 - 3x^2 = 0\)

Мы получили один корень - x = 0. Значит, данное значение а не подходит.

Подставим а = 4:

\(-x^3 - 3x^2 + 8 - 4 = 0\)

Упрощаем:

\(-x^3 - 3x^2 + 4 = 0\)

Мы получили два корня - x = 1 и x = -2. Значит, при а = 4, уравнение имеет два корня.

Шаг 8: Ответ

Найдено два значения а, для которых уравнение -х3–3х2+8-а=0 имеет два корня. Это а = 8 и а = 4.