Контрольная работа No3 Вариант 1 A В 1. На рисунке АВ параллельно CD. а) Подтвердите, что отношение АО к ОС равно

Ящерка

64

Задача 1:
а) Чтобы подтвердить, что отношение АО к ОС равно отношению ВО к OD, мы можем использовать свойство параллельных прямых и их пересекающихся секущих.

На рисунке видно, что прямые AB и CD параллельны. Также мы знаем, что две пересекающиеся секущие AC и BD образуют пропорциональные отрезки.

Пусть АО = х, ОС = у, ВО = z, OD = w. Тогда мы можем записать следующую пропорцию:

\(\frac{х}{у} = \frac{z}{w}\)

Теперь докажем, что эта пропорция справедлива.

Поскольку AB и CD параллельны, то их пересекающиеся секущие AC и BD образуют пропорциональные отрезки. Таким образом, мы можем записать следующую систему уравнений, исходя из подобия треугольников:

\(\frac{AD}{DC} = \frac{AO}{OC}\) (1)
\(\frac{AB}{BC} = \frac{AO}{OC}\) (2)

Из уравнения (1) имеем:
\(\frac{AD}{DC} = \frac{x + z}{y}\)

Из уравнения (2) имеем:
\(\frac{AB}{BC} = \frac{x}{y}\)

Поскольку AD = AB (так как эти отрезки находятся на одной прямой), то podemos можем получить следующее уравнение:

\(\frac{x + z}{y} = \frac{x}{y}\)

Путем умножения обеих частей уравнения на y, мы получим:

\(x + z = x\)

Поскольку x - x = 0, мы можем видеть, что это уравнение истинно для любых значений x и z. Это означает, что пропорция \(\frac{х}{у} = \frac{z}{w}\) справедлива, и мы подтвердили, что отношение АО к ОС равно отношению ВО к OD.

б) Теперь рассчитаем значение AB, используя данные OD = 15 см, OB = 9 см и CD = 25 см.

Мы можем использовать подобие треугольников, чтобы найти значение AB. Так как связь между AB и CD установлена через соотношение между OD и OB, давайте сделаем следующие рассуждения:

\(\frac{AB}{CD} = \frac{OD}{OB}\)

Подставим известные значения:

\(\frac{AB}{25} = \frac{15}{9}\)

Теперь мы можем найти значение AB, умножив обе части уравнения на 25:

\(AB = \frac{15}{9} \cdot 25\)

Вычислим значение:

\(AB = \frac{375}{9} \approx 41,67 \, \text{см}\)

Таким образом, значение AB равно около 41,67 см.

Задача 2:
Мы хотим найти отношение площадей треугольников ABC и KMN при условии, что AB = 8 см, BC = 12 см, AC = 16 см, KM = 10 см, MN = 15 см и NK = 20 см.

Площадь треугольника можно найти, применяя формулу Герона:

\(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\),

где S - площадь, p - полупериметр ( \(p = \frac{a+b+c}{2}\)), а, b и c - стороны треугольника.

Площадь треугольника ABC равна:

\(S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}\),

а площадь треугольника KMN равна:

\(S_{KMN} = \sqrt{p(p-KM)(p-MN)(p-NK)}\).

Теперь мы можем подставить в формулы известные значения и вычислить площади обоих треугольников. Затем найдем отношение площадей:

\(\frac{S_{ABC}}{S_{KMN}} = \frac{\sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}}{\sqrt{p(p-KM)(p-MN)(p-NK)}}\).

Для нахождения отношения площадей треугольников ABC и KMN, сначала вычислим полупериметры:

\(p_{ABC} = \frac{AB + BC + AC}{2}\)

\(p_{KMN} = \frac{KM + MN + NK}{2}\)

Подставим известные значения:

\(p_{ABC} = \frac{8 + 12 + 16}{2} = 18\)

\(p_{KMN} = \frac{10 + 15 + 20}{2} = 22,5\)

Теперь вычислим площади треугольников:

\(S_{ABC} = \sqrt{18(18-8)(18-12)(18-16)}\)

\(S_{KMN} = \sqrt{22,5(22,5-10)(22,5-15)(22,5-20)}\)

После выполнения всех математических операций получим величину о нужных площадях, а затем посчитаем отношение площадей:

\(\frac{S_{ABC}}{S_{KMN}}\)

Пожалуйста, убедитесь, что вы выполнили все необходимые рассчеты вручную, чтобы получить окончательный ответ.