Может ли 2sin(x/2 + Пи/4) быть больше или равно?

Yagoda

21

Конечно! Давайте разберемся с данной задачей шаг за шагом.

Мы рассматриваем выражение \(2\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\) и хотим узнать, существует ли такое значение \(x\), при котором это выражение больше или равно нулю.

Первым шагом давайте проанализируем основные свойства синуса и попробуем упростить выражение. Напомню, что синусная функция может принимать значения от -1 до 1.

Выполним некоторые алгебраические манипуляции с аргументом синуса:
\[\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{2x + \pi}{4}\]

Теперь мы можем записать оригинальное выражение в следующем виде:
\[2\sin\left(\frac{2x + \pi}{4}\right)\]

Мы знаем, что амплитуда синуса равна 2. Это означает, что максимальное значение синуса равно 2, а минимальное значение равно -2.

Теперь давайте посмотрим на выражение \(\frac{2x + \pi}{4}\). Чтобы аргумент синуса лежал в диапазоне от -1 до 1, нужно иметь:
\[-1 \leq \frac{2x + \pi}{4} \leq 1\]

Далее, давайте решим эту двойную неравенство:

1. Для нижней границы:
\[-1 \leq \frac{2x + \pi}{4}\]
Умножим обе части неравенства на 4:
\[-4 \leq 2x + \pi\]
Вычтем \(\pi\) из обеих частей:
\[-4 - \pi \leq 2x\]
Разделим на 2:
\[-2 - \frac{\pi}{2} \leq x\]

2. Для верхней границы:
\[\frac{2x + \pi}{4} \leq 1\]
Умножим обе части неравенства на 4:
\(2x + \pi \leq 4\)
Вычтем \(\pi\) из обеих частей:
\(2x \leq 4 - \pi\)
Разделим на 2:
\(x \leq 2 - \frac{\pi}{2}\)

Итак, мы получили два неравенства для значения \(x\):
\(-2 - \frac{\pi}{2} \leq x \leq 2 - \frac{\pi}{2}\)

Теперь мы знаем, что выражение \(2\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\) больше или равно нуля для значений \(x\), удовлетворяющих неравенству \(-2 - \frac{\pi}{2} \leq x \leq 2 - \frac{\pi}{2}\).

Надеюсь, этот пошаговый анализ помог вам понять, когда именно выражение может быть больше или равно нулю. Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!