Какую функцию F(x) можно выбрать в качестве первообразной для f(x) = 4x + 3 + 5x^3?

Skvoz_Les

57

Конечно, я могу помочь! Чтобы найти функцию \(F(x)\), которая является первообразной для функции \(f(x) = 4x + 3 + 5x^3\), мы будем использовать метод интегрирования.

Для начала, разобьем задачу на несколько частей. Так как мы имеем функцию, состоящую из нескольких слагаемых, мы можем найти первообразные для каждой части по отдельности, а затем сложить полученные результаты.

Итак, первообразная для \(4x\) – это функция, которая при дифференцировании даст \(4x\). Так как производная от \(4x\) равна 4 и d/dx(x) = 1, то первообразная для \(4x\) будет \(\frac{4}{1}\cdot x = 4x^2 + C_1\), где \(C_1\) – произвольная постоянная.

Затем рассмотрим слагаемое \(3\). Постоянная функция \(3\) не зависит от переменной \(x\), следовательно, ее производная равна нулю. Следовательно, первообразной для \(3\) будет функция, равная \(3x + C_2\), где \(C_2\) – произвольная постоянная.

Наконец, рассмотрим слагаемое \(5x^3\). Мы знаем, что первообразная для \(x^n\) – это \(\frac{1}{n+1}x^{n+1}\). Применим эту формулу, где \(n = 3\), и получим \(\frac{1}{4}x^4 + C_3\), где \(C_3\) – произвольная постоянная.

Теперь сложим все полученные первообразные: \(F(x) = 4x^2 + C_1 + 3x + C_2 + \frac{1}{4}x^4 + C_3\). Давайте сгруппируем константы в одну: \(F(x) = 4x^2 + 3x + \frac{1}{4}x^4 + C\), где \(C = C_1 + C_2 + C_3\) – итоговая постоянная.

Таким образом, функция \(F(x)\), которая является первообразной для \(f(x) = 4x + 3 + 5x^3\), записывается как \(F(x) = 4x^2 + 3x + \frac{1}{4}x^4 + C\), где \(C\) – произвольная постоянная.