Может ли результат деления трехзначного натурального числа (не начинающегося с нуля) на сумму его цифр быть равным?

Золотой_Лист

19

Давайте разберем данную задачу. Мы хотим узнать, может ли результат деления трехзначного натурального числа на сумму его цифр быть равным?

Пусть наше трехзначное число будет представлено в виде \(abc\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - цифры числа.

Сумма цифр данного числа будет равна \(a + b + c\).

Мы теперь можем поставить уравнение:

\[
\frac{{abc}}{{a+b+c}} = k
\]

где \(k\) - некоторое целое число, предположим, что оно равно 2.

Перепишем уравнение с учетом представления числа:

\[
\frac{{100a + 10b + c}}{{a+b+c}} = 2
\]

Упростим выражение и раскроем скобки:

\[
\frac{{99a + 9b}}{{a+b+c}} = 2
\]

Заметим, что числитель "99a + 9b" делится на \(a + b + c\), так как сумма цифр числителя равна сумме цифр знаменателя. Значит, деление нацело возможно.

Однако, в данном случае возникает противоречие. Мы предположили, что результат деления равен 2, а числитель "99a + 9b" является подушкой на \(a + b + c\), значит он должен быть больше \(a + b + c\). Таким образом, наше предположение неверно.

Таким образом, мы можем заключить, что результат деления трехзначного натурального числа на сумму его цифр не может быть равным.