Можете объяснить в подробностях равенство 1-4cos^2(x-5p/12) = корень из 3*cos2x, без неправильных утверждений

Sambuka_2097

21

Конечно! Давайте рассмотрим равенство:
\[1-4\cos^2\left(x-\frac{5\pi}{12}\right) = \sqrt{3}\cos(2x)\]

Чтобы решить это уравнение, давайте приведем каждую из сторон к более простому виду.

1. Подставим значение \(\cos(2x)\) в правую часть уравнения:
\[1-4\cos^2\left(x-\frac{5\pi}{12}\right) = \sqrt{3}\cos(2x)\]
\[1-4\cos^2\left(x-\frac{5\pi}{12}\right) = \sqrt{3}\left[\cos^2(x)-\sin^2(x)\right]\]

2. Расширим скобки и упростим уравнение:
\[1-4\cos^2\left(x-\frac{5\pi}{12}\right) = \sqrt{3}\cos^2(x)-\sqrt{3}\sin^2(x)\]
\[1-4\cos^2\left(x-\frac{5\pi}{12}\right) = \sqrt{3}\cos^2(x)-(1-\sqrt{3})\sin^2(x)\]

3. Подставим значение \(\cos^2(x) = 1-\sin^2(x)\) в уравнение:
\[1-4\cos^2\left(x-\frac{5\pi}{12}\right) = \sqrt{3}(1-\sin^2(x)) - (1-\sqrt{3})\sin^2(x)\]

4. Раскроем скобки и упростим:
\[1-4\cos^2(x)\cos^2\left(-\frac{5\pi}{12}\right) = \sqrt{3}-\sqrt{3}\sin^2(x) - (1-\sqrt{3})\sin^2(x)\]
\[1-4\cos^2(x)\cos^2\left(-\frac{5\pi}{12}\right) = \sqrt{3}-\sqrt{3}\sin^2(x) - \sin^2(x)+\sqrt{3}\sin^2(x)\]
\[1-4\cos^2(x)\cos^2\left(-\frac{5\pi}{12}\right) = \sqrt{3}-\sin^2(x)+\sqrt{3}\sin^2(x) - \sin^2(x)\]

Теперь давайте продолжим с упрощением выражения.

5. Вспомним, что \(\cos^2\left(-\frac{5\pi}{12}\right) = \cos^2\left(\frac{5\pi}{12}\right)\), так как \(\cos\) является четной функцией:
\[1-4\cos^2(x)\cos^2\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \sqrt{3}-\sin^2(x)+\sqrt{3}\sin^2(x) - \sin^2(x)\]

6. Упростим дальше, сгруппируя похожие слагаемые:
\[1-4\cos^2(x)\cos^2\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \sqrt{3}+(2\sqrt{3}-1)\sin^2(x) - \sin^2(x)\]

7. Раскроем скобки и упростим:
\[1-4\cos^2(x)\cos^2\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \sqrt{3}+(2\sqrt{3}-1-1)\sin^2(x)\]
\[1-4\cos^2(x)\cos^2\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \sqrt{3}+(2\sqrt{3}-2)\sin^2(x)\]
\[1-4\cos^2(x)\cos^2\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \sqrt{3}+2(\sqrt{3}-1)\sin^2(x)\]

Таким образом, мы получили эквивалентное уравнение:
\[1-4\cos^2(x)\cos^2\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \sqrt{3}+2(\sqrt{3}-1)\sin^2(x)\]

Мы рассмотрели равенство \(1-4\cos^2\left(x-\frac{5\pi}{12}\right) = \sqrt{3}\cos(2x)\) и привели его к более простому виду, упрощая выражения и сгруппировывая подобные слагаемые. Этот подробный анализ помогает нам понять уравнение и возможные способы его решения.