Можно ли числить число +1-2+3-4+5-6+...+2021-2022+2023 на 4 равные части? Предоставьте обоснование вашего ответа

Druzhische

5

Да, можно числить данное число на 4 равные части. Обоснование этого факта можно представить следующим образом:

Для начала, рассмотрим сумму \(S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \ldots + 2021 - 2022 + 2023\).

Мы можем разбить эту сумму на две части, суммируя отдельно положительные и отрицательные члены:

\(S = (1 + 3 + 5 + \ldots + 2019 + 2021) - (2 + 4 + 6 + \ldots + 2020 + 2022 + 2023)\).

Перегруппируем слагаемые внутри скобок:

\(S = (1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + \ldots + (2019 - 2020) + (2021 - 2022) + 2023\).

Заметим, что каждое скобочное выражение вида \((2n-1) - 2n\) равно -1. Таким образом, каждое из этих выражений будет вносить в общую сумму \(S\) отрицательный вклад величиной -1.

Получаем:

\(S = (-1) + (-1) + (-1) + \ldots + (-1) + (-1) + 2023\).

Всего у нас есть 2023 слагаемых, равных -1, и одно слагаемое, равное 2023.

Таким образом, значения всех слагаемых равными -1 можно отнести к одной группе, а значение слагаемого, равного 2023, можно отнести ко второй группе.

После такого разделения получаем две группы: первая группа состоит из 2023 слагаемых, равных -1, а вторая группа содержит одно слагаемое, равное 2023.

Обе группы имеют равные суммы, так как первая группа у нас содержит 2023 слагаемых, каждое из которых равно -1, а следовательно, сумма первой группы равна -2023. Вторая группа состоит только из одного слагаемого, равного 2023, и поэтому ее сумма также равна 2023.

Итак, мы разделили исходную сумму на две группы: одна группа равна -2023, а вторая группа равна 2023. Очевидно, что -2023 и 2023 являются равными величинами, но противоположными по знаку.

Теперь мы можем разбить исходную сумму на 4 равные части, объединив каждые две группы. Поскольку значения групп равными по модулю и противоположными по знаку, сумма каждой пары групп будет равна нулю.

Таким образом, исходная сумма "+1-2+3-4+5-6+...+2021-2022+2023" можно числить на 4 равные части суммой нулей.

Мы получили такой результат, основываясь на свойствах алгебры, и, следовательно, имеем уверенность в его верности.