На какой объем шара делится площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данный шар?

Андрей

46

Чтобы найти объем шара, на который делится площадь боковой поверхности цилиндра, нужно рассмотреть связь между этими двумя геометрическими фигурами.

Для начала, рассмотрим цилиндр, который вписан в шар. Представим, что у нас есть цилиндр с высотой \(h\) и радиусом основания \(r\). Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти по формуле:

\[S_{\text{бок}} = 2\pi rh\]

Теперь давайте рассмотрим шар, в который вписан этот цилиндр. Радиус шара обозначим как \(R\). Площадь поверхности шара можно найти по формуле:

\[S_{\text{шара}} = 4\pi R^2\]

Также мы знаем, что высота цилиндра равна диаметру шара (потому что цилиндр вписан в шар), то есть \(h = 2R\). Подставим это значение высоты в формулу площади боковой поверхности цилиндра:

\[S_{\text{бок}} = 2\pi rh = 2\pi(2R)R = 4\pi R^2\]

Таким образом, мы видим, что площадь боковой поверхности цилиндра равна площади поверхности шара \(S_{\text{шара}}\).

Теперь, чтобы найти объем шара \(V\), на который делится площадь боковой поверхности цилиндра, мы можем использовать соотношение между объемом и площадью поверхности шара:

\[V = \frac{2}{3}R \cdot S_{\text{шара}}\]

Подставляя значение площади поверхности шара, получаем:

\[V = \frac{2}{3}R \cdot 4\pi R^2 = \frac{8}{3}\pi R^3\]

Таким образом, объем шара, на который делится площадь боковой поверхности цилиндра, равен \(\frac{8}{3}\pi R^3\).