На какую высоту h поднимается уровень жидкости в сосуде меньшего сечения, если в сосуд большего сечения, в котором

Магический_Кристалл

47

Для решения этой задачи воспользуемся законом Архимеда, который утверждает, что на тело, погруженное в жидкость, действует сила, равная весу вытесненной этим телом жидкости. Сила Архимеда вычисляется по формуле:

\[F_{\text{А}} = p_{\text{ж}} \cdot V_{\text{в}} \cdot g,\]

где \(F_{\text{А}}\) - сила Архимеда, \(p_{\text{ж}}\) - плотность жидкости, \(V_{\text{в}}\) - объем вытесненной жидкости, \(g\) - ускорение свободного падения.

Так как жидкость в сосуде большего сечения образует столб высотой \(H = 12\) см, то объем вытесненной жидкости будет равен объему этого столба:

\[V_{\text{в}} = S_{\text{б}} \cdot H,\]

где \(S_{\text{б}}\) - площадь основания столба. Подставим это выражение в формулу для силы Архимеда:

\[F_{\text{А}} = p_{\text{ж}} \cdot S_{\text{б}} \cdot H \cdot g.\]

Теперь рассмотрим сосуд меньшего сечения. Когда в него доливают жидкость плотностью \(p\), она будет вытеснять жидкость плотностью \(2p\). Положим, что после долива уровень жидкости в сосуде меньшего сечения поднимается на высоту \(h\). Тогда и объем вытесненной жидкости в этом случае будет равен объему столба высотой \(h\):

\[V_{\text{в}} = S_{\text{м}} \cdot h,\]

где \(S_{\text{м}}\) - площадь основания сосуда меньшего сечения. Подставим это выражение в формулу для силы Архимеда:

\[F_{\text{А}} = p \cdot S_{\text{м}} \cdot h \cdot g.\]

Поскольку сила Архимеда должна быть одинакова и для большего, и для меньшего сосуда, приравняем первое и второе выражения для силы Архимеда:

\[p_{\text{ж}} \cdot S_{\text{б}} \cdot H \cdot g = p \cdot S_{\text{м}} \cdot h \cdot g.\]

Заметим, что ускорение свободного падения \(g\) и площади сечений \(S_{\text{б}}\) и \(S_{\text{м}}\) не зависят от выбора жидкости, поэтому можем сократить эти величины:

\[p_{\text{ж}} \cdot S_{\text{б}} \cdot H = p \cdot S_{\text{м}} \cdot h.\]

Разделим обе части на плотность жидкости, налитой в сосуд большего сечения \(p_{\text{ж}}\):

\[S_{\text{б}} \cdot H = \dfrac{p \cdot S_{\text{м}} \cdot h}{p_{\text{ж}}}.\]

Теперь выразим искомую высоту \(h\):

\[h = \dfrac{S_{\text{б}} \cdot H \cdot p_{\text{ж}}}{p \cdot S_{\text{м}}}.\]

Для получения численного ответа необходимо подставить известные значения площадей сечений \(S_{\text{б}}\) и \(S_{\text{м}}\), плотности жидкости в большем сосуде \(2p\), плотности доливаемой жидкости \(p\) и высоту столба \(H\). Пожалуйста, предоставьте эти данные, чтобы я мог выполнить вычисления и дать вам ответ с подробными расчетами.