На промежутке [-π;π] сколько корней у уравнения Ctg5xcosx+sinx-√2cos4x=0 (под корнем только

Путник_Судьбы

11

Постараюсь дать максимально подробный ответ с пошаговым решением данной задачи.

Уравнение, которое нам нужно решить, имеет следующий вид:
\[ \text{Ctg}(5x)\cos(x) + \sin(x) - \sqrt{2}\cos(4x) = 0 \]

Чтобы найти количество корней у данного уравнения на промежутке \([-π;π]\), мы можем воспользоваться графическим методом. Для этого построим графики функций, представленных в уравнении, и найдем точки их пересечения.

Первый шаг - построение графика функции \(\text{Ctg}(5x)\cos(x)\):
Для начала построим график функции \(\text{Ctg}(5x)\):
\[
\begin{align*}
x & : -π \quad -\frac{1}{5}π \quad 0 \quad \frac{1}{5}π \quad π \\
\text{Ctg}(5x) & : 0 \quad -\infty \quad 0 \quad +\infty \quad 0
\end{align*}
\]
Так как \(\cos(x)\) имеет значения от -1 до 1, умножение на \(\cos(x)\) не меняет количество корней. Таким образом, мы можем построить график функции \(\text{Ctg}(5x)\cos(x)\) как график функции \(\text{Ctg}(5x)\), только умноженный на \(\cos(x)\).

Второй шаг - построение графика функции \(\sin(x)\):
График функции \(\sin(x)\) представляет собой гармоническую функцию, которая пересекает ось x при значениях \(x = -π\), \(x = 0\) и \(x = π\).

Третий шаг - построение графика функции \(\sqrt{2}\cos(4x)\):
\(\cos(4x)\) - это периодическая функция с периодом \(\frac{π}{2}\). Функция \(\sqrt{2}\cos(4x)\) будет колебаться вокруг оси x, принимая значения от \(-\sqrt{2}\) до \(\sqrt{2}\). Период этой функции равен \(\frac{π}{4}\), поэтому она будет пересекать ось x при значениях \(x = -\frac{3}{4}π\), \(x = -\frac{1}{4}π\), \(x = \frac{1}{4}π\) и \(x = \frac{3}{4}π\).

Четвертый шаг - пересечение графиков функций:
Теперь, когда у нас есть графики всех компонентов уравнения, нам нужно найти точки их пересечения. Корни уравнения соответствуют точкам, где значение всех трех функций равно 0 одновременно.

Анализируя графики, мы видим, что графики функций \(\text{Ctg}(5x)\cos(x)\) и \(\sin(x)\) пересекаются при \(x = -\frac{1}{5}π\), \(x = 0\) и \(x = \frac{1}{5}π\). График функции \(\sqrt{2}\cos(4x)\) также пересекает другие два графика в этих точках.

Итак, у уравнения \( \text{Ctg}(5x)\cos(x) + \sin(x) - \sqrt{2}\cos(4x) = 0 \) на промежутке \([-π;π]\) есть три корня: \(x = -\frac{1}{5}π\), \(x = 0\) и \(x = \frac{1}{5}π\).

Надеюсь, этот ответ был понятен и полезен для вас!