На рисунке 1 точки: Е - центр АМ, К - центр ВМ, Р - центр СМ. Площадь треугольника АВС составляет 120 кв.см. Какова

Ledyanoy_Volk

69

Дано: \(S_{\triangle ABC} = 120\) кв.см.

Из условия известно, что точки \(E\), \(K\) и \(P\) являются центрами масс треугольников \(AMC\), \(BMC\) и \(BMA\) соответственно.

Для начала, нам нужно определить отношения площадей в заданной конфигурации. Так как точки \(E\), \(K\) и \(P\) являются центрами масс треугольников, то площадь каждого из этих треугольников равна трети площади треугольника, образованного вершинами этих треугольников.

Таким образом, площадь треугольника \(ABC\) равна сумме площадей треугольников \(AME\), \(BMC\) и \(CMA\), где \(ABC\) - исходный треугольник.

\[S_{\triangle ABC} = S_{\triangle AME} + S_{\triangle BMC} + S_{\triangle CMA}\]

\[S_{\triangle ABC} = \frac{1}{3} S_{\triangle AME} + \frac{1}{3} S_{\triangle BMC} + \frac{1}{3} S_{\triangle CMA}\]

\[S_{\triangle ABC} = \frac{1}{3} (S_{\triangle AME} + S_{\triangle BMC} + S_{\triangle CMA})\]

Так как площадь каждого из треугольников \(AME\), \(BMC\) и \(CMA\) равна трети площади треугольника \(ABC\), то:

\[S_{\triangle AME} = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC}\]
\[S_{\triangle BMC} = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC}\]
\[S_{\triangle CMA} = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC}\]

Таким образом, площадь треугольника \(ABC\) равна утроенной площади исходного треугольника.

Ответ: Площадь треугольника \(ABC\) равна 360 кв.см.