На сколько изменится среднее арифметическое набора из n чисел, если одно из этих чисел увеличить?

Звездопад_Волшебник

70

Для решения этой задачи мы должны понимать, как вычисляется среднее арифметическое и как на него влияют изменения чисел в наборе.

Среднее арифметическое набора из n чисел вычисляется путем сложения всех чисел и деления полученной суммы на количество чисел в наборе. Формула для вычисления среднего арифметического (M) выглядит следующим образом:

\[ M = \frac{{x_1 + x_2 + ... + x_n}}{n} \]

Где x₁, x₂, ..., xₙ - числа в наборе, а n - количество чисел в наборе.

Если одно из чисел в наборе увеличить на определенную величину, то для нахождения изменения среднего арифметического мы должны знать это увеличение и количество чисел в наборе.

Пусть исходное среднее арифметическое равно M₀, одно из чисел в наборе равно х, а его увеличение на величину а обозначим как х". Тогда измененное среднее арифметическое M будет вычисляться следующим образом:

\[ M = \frac{{(x₁ + x₂ + ... + x) + х" + (x + 1 + ... + x_n)}}{n} \]

Мы увеличили число х на величину а и добавили измененное значение х в набор. Остальные числа в наборе остаются без изменений.

Далее мы можем преобразовать это выражение, сгруппировав числа с измененным и неизменным значением:

\[ M = \frac{{(x₁ + x₂ + ... + x_n) + х"}}{n} \]

Мы можем заметить, что выражение в скобках является суммой чисел в исходном наборе (без измененного числа). Она равна n * M₀. Тогда наше выражение будет выглядеть так:

\[ M = \frac{{n \cdot M₀ + х"}}{n} \]

Мы можем сократить n, что приведет к следующему простому выражению:

\[ M = M₀ + \frac{{х"}}{n} \]

Таким образом, изменение среднего арифметического будет зависеть от величины изменения числа (х") и количества чисел в наборе (n). Чем больше изменение числа или количества чисел, тем больше будет изменение среднего арифметического.