На сколько отличаются площади 4-х кругов, вписанных в квадрат с равным периметром прямоугольника, и площади 6-ти

Lizonka_8602

60

Давайте решим данную задачу шаг за шагом. Первым шагом будет определение периметра квадрата и прямоугольника.

Периметр квадрата - это сумма длин всех его сторон. Пусть сторона квадрата равна \(a\). Тогда периметр квадрата равен \(4a\).

Периметр прямоугольника - это сумма длин всех его сторон. Пусть стороны прямоугольника равны \(b\) и \(c\). Тогда периметр прямоугольника равен \(2b + 2c\).

Дано, что периметры квадрата и прямоугольника равны между собой: \(4a = 2b + 2c\).

Теперь, чтобы вычислить площадь вписанных кругов, нам нужно найти радиус каждого круга.

Радиус круга, вписанного в квадрат, равен половине стороны квадрата: \(r_{\text{к}} = \frac{a}{2}\).

Радиус круга, вписанного в прямоугольник, равен половине диагонали прямоугольника. По теореме Пифагора, длина диагонали \(d\) выражается через стороны прямоугольника следующей формулой: \(d = \sqrt{b^2 + c^2}\). Тогда радиус круга, вписанного в прямоугольник, будет \(r_{\text{п}} = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{b^2 + c^2}}{2}\).

Теперь мы можем вычислить площадь каждого вписанного круга.

Площадь круга вычисляется по формуле \(S = \pi r^2\), где \(\pi\) - это математическая константа, приближенно равная 3,14, а \(r\) - радиус круга.

Площадь четырех кругов, вписанных в квадрат, равна \(4S_{\text{к}} = 4\pi(\frac{a}{2})^2 = \pi a^2\).

Площадь шести кругов, вписанных в прямоугольник, равна \(6S_{\text{п}} = 6\pi(\frac{\sqrt{b^2 + c^2}}{2})^2 = 3\pi(b^2 + c^2)\).

Теперь нам нужно найти разницу между площадями 4-х кругов, вписанных в квадрат, и 6-ти кругов, вписанных в прямоугольник.

\(4S_{\text{к}} - 6S_{\text{п}} = \pi a^2 - 3\pi(b^2 + c^2)\).

Возьмем общий множитель \(\pi\) за скобки и приведем формулу к более простому виду:

\(S = \pi(a^2 - 3(b^2 + c^2))\).

Теперь у нас есть выражение для разности площадей. Давайте воспользуемся данными из условия задачи, где стороны прямоугольника равны 24 см и 16 см.

Подставим значения в формулу:

\(S = \pi(24^2 - 3(16^2 + 24^2))\).

Выполняя вычисления, получим:

\(S = \pi(576 - 3(256 + 576)) = \pi(576 - 3\cdot832) = \pi(576 - 2496) = \pi(-1920)\).

Итак, разность площадей кругов равна \(-1920\pi\).

Верный ответ: г) \(-1920\pi\) см.