На сколько процентов увеличится осевой момент инерции, если увеличить диаметр сплошного вала вдвое?

Kira

34

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые основные понятия и формулы из физики. Осевой момент инерции обозначается буквой \(I\) и является мерой инертности тела относительно оси вращения. Он определяется как сумма произведений массы каждого элемента тела на квадрат расстояния от оси вращения до этого элемента.

Пусть у нас есть сплошной вал с изначальным диаметром \(d_1\). Для такого вала, осевой момент инерции пропорционален квадрату радиуса вала \(r_1\), а именно \(I_1 = K \cdot r_1^2\), где \(K\) - константа зависящая от вида и геометрии тела. Теперь, если увеличить диаметр вдвое, то новый диаметр будет \(d_2 = 2 \cdot d_1\), а соответствующий радиус будет равен \(r_2 = \frac{d_2}{2} = \frac{2 \cdot d_1}{2} = d_1\).

Чтобы узнать, на сколько процентов увеличится осевой момент инерции, можно выразить новый осевой момент инерции \(I_2\) через старый \(I_1\). Поскольку осевой момент инерции пропорционален квадрату радиуса, то можно записать \(\frac{I_2}{I_1} = \frac{r_2^2}{r_1^2}\).

Подставим значения радиусов в это уравнение: \(\frac{I_2}{I_1} = \frac{(d_1)^2}{(d_1)^2} = 1\).

Следовательно, осевой момент инерции увеличивается в 1 раз, то есть не изменяется.

Ответ: Осевой момент инерции не увеличится, он останется неизменным при увеличении диаметра сплошного вала вдвое.