На сколько раз вероятность события положительный исход будет наблюдаться 5 раз превышает вероятность события

Димон

12

Для решения данной задачи, мы можем использовать биномиальное распределение, которое позволяет нам определить вероятность успеха в серии независимых испытаний. В данном случае, наличие положительного исхода можно считать успехом (например, выпадение орла при бросании монеты).

Итак, нам дана ситуация, в которой одну и ту же монету бросают 10 раз. Нам нужно рассчитать вероятность того, что положительный исход (выпадение орла) будет наблюдаться 5 раз и 4 раза соответственно.

Давайте рассчитаем вероятность наблюдения положительного исхода (орла) ровно 5 раз. Формула для этого:

\[
P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
\]

Где:
- \(P(X=k)\) - вероятность того, что положительный исход наблюдается ровно k раз
- \(C_n^k\) - число сочетаний из n по k (определяется формулой \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\))
- \(p\) - вероятность положительного исхода в одном испытании (вероятность выпадения орла)
- \(n\) - общее число испытаний (в данном случае 10)
- \(k\) - количество положительных исходов (в данном случае 5)

Для нашей задачи, \(p = \frac{1}{2}\), так как монета симметричная и вероятность выпадения орла или решки равны.

Рассчитаем вероятности для 5 и 4 положительных исходов.

\[
P(X=5) = C_{10}^5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 \cdot \left(1-\frac{1}{2}\right)^{10-5}
\]
\[
P(X=4) = C_{10}^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot \left(1-\frac{1}{2}\right)^{10-4}
\]

Теперь, чтобы узнать на сколько раз вероятность события "положительный исход будет наблюдаться 5 раз" превышает вероятность события "положительный исход будет наблюдаться 4 раза", нам нужно вычислить разность между этими вероятностями:

\[
P(X=5) - P(X=4)
\]

Давайте рассчитаем это:

\[
P(X=5) = C_{10}^5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{10-5} = \frac{10!}{5!(10-5)!} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{252}{1024}
\]
\[
P(X=4) = C_{10}^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{10-4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{210}{1024}
\]

Теперь, найдем разность:

\[
P(X=5) - P(X=4) = \frac{252}{1024} - \frac{210}{1024} = \frac{42}{1024} = \frac{21}{512}
\]

Итак, вероятность события "положительный исход будет наблюдаться 5 раз" превышает вероятность события "положительный исход будет наблюдаться 4 раза" на \(\frac{21}{512}\).