На який кут зміститься маятник, коли його вдарить 0.2 кг куля з горизонтальною швидкістю 400 м/с? Маятник має невагому

Tainstvennyy_Rycar

35

Для розв"язання цієї задачі нам необхідно скористатися законом збереження енергії та законом збереження лінійного руху.

Закон збереження енергії говорить про те, що сума кінетичної та потенціальної енергії системи залишається постійною.

Спочатку розглянемо ситуацію до удару кулі. Маятник не рухається горизонтально, тому у нього немає кінетичної енергії. Його потенціальна енергія позначається як \(E_{п0}\) і визначається за формулою:

\[E_{п0} = mgh\]

де \(m\) - маса кулі, \(g\) - прискорення вільного падіння, \(h\) - висота підняття ниткою.

Тепер розглянемо ситуацію після удару кулі. Після удару куля буде рухатися разом з маятником, маючи спільний центр мас. Нехай шуканий кут зміщення маятника після удару буде позначений як \(\theta\).

На цей момент, у системі маємо кінетичну енергію \(E_{к}\) та потенціальну енергію \(E_{п}\). Виразимо їх у формілуванні:

\[E_{к} = \frac{1}{2} m v^2\]

де \(v\) - швидкість кулі разом з маятником після удару.

\[E_{п} = mgh\cos(\theta)\]

де \(\theta\) - кут зміщення маятника. Радимо вам оскільки бажано, щоб пояснення було максимально просте для школяра, провести заміну \(gh\) - довжина нитки \(L\).

Отже, за законом збереження енергії, до удару кулі сума енергій дорівнює:

\[E_{п0} = E_{п} + E_{к}\]

\[mgh = mgh\cos(\theta) + \frac{1}{2} m v^2\]

\[gh = h\cos(\theta) + \frac{1}{2} v^2\]

\[h\cos(\theta) = gh - \frac{1}{2} v^2\]

Тепер ми можемо розв"язати це рівняння відносно кута \(\theta\). Підставимо в дану рівність відомі значення: \(h = 4 \,м\), \(g = 9.8 \,м/с^2\), \(v = 400 \,м/с\):

\[4\cos(\theta) = (9.8 \cdot 4) - \frac{1}{2} \cdot (400^2)\]

Остаточно розв"яжемо це рівняння для знаходження кута \(\theta\).