На яку відстань вибрався космічний апарат, якщо гравітаційна сила Землі зменшилась?

Mila

4

Космічний апарат вибрався на яку дистанцію наслідком зміни гравітаційної сили Землі. Щоб глибоко зрозуміти цю ситуацію, необхідно розглянути вплив гравітації на рух тіл. Гравітаційна сила – це сила притяжіння між двома об"єктами, яка залежить від маси тіл та відстані між ними. У даному випадку, ми маємо справу зі зменшенням гравітаційної сили Землі, що означає, що змінилась одна з складових цієї сили - відстань між космічним апаратом та Землею.

Давайте розглянемо детальніше процес розрахунку нової відстані. Позначимо \(d\) початкову відстань, на яку вибрався космічний апарат. Також, позначимо \(F_1\) початкову гравітаційну силу Землі, яка прикладається до апарату на початку подорожі. Оскільки гравітаційна сила змінюється, ми можемо позначити нову гравітаційну силу як \(F_2\).

Закон всесвітнього тяжіння Ньютона стверджує, що гравітаційна сила (\(F\)) між двома тілами залежить від маси цих тіл (\(m_1\) та \(m_2\)) та квадрату відстані між ними (\(r\)). Він виражається формулою:

\[F = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{{r^2}}\]

Де \(G\) - гравітаційна постійна, яка дорівнює приблизно \(6.67430 \times 10^{-11}\) \(\text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2\).

Відношення гравітаційних сил можна записати у вигляді:

\[\frac{{F_2}}{{F_1}} = \frac{{\frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{(d - h)^2}}}}{{\frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{d^2}}}}\]

Де \(h\) - зміщення апарату від Землі, тобто відстань, на яку він вибрався.

Скоротивши подібні частини та спростивши, ми отримуємо:

\[\frac{{F_2}}{{F_1}} = \left(\frac{{d}}{{d - h}}\right)^2\]

Оскільки гравітаційна сила зменшилась, ми можемо сказати, що нова гравітаційна сила (\(F_2\)) менша за початкову гравітаційну силу (\(F_1\)). Це означає, що \(\frac{{F_2}}{{F_1}} < 1\).

Рівняння \(\frac{{F_2}}{{F_1}} = \left(\frac{{d}}{{d - h}}\right)^2\) виражає співвідношення гравітаційних сил. Беручи до уваги, що \(\frac{{F_2}}{{F_1}} < 1\), ми отримуємо:

\[\left(\frac{{d}}{{d - h}}\right)^2 < 1\]

Щоб розв"язати це нерівняння, розкриваємо квадрат, і отримуємо:

\[\frac{{d^2}}{{(d - h)^2}} < 1\]

Виключаємо ділення на нуль, щоб забезпечити коректність рівняння:

\[d - h > 0\]

Розкриваємо квадрат та спрощуємо це нерівність:

\[d^2 - 2dh + h^2 < d^2\]

Відкидаємо \(d^2\) з обох боків:

\[- 2dh + h^2 < 0\]

Переносимо \(h^2\) на інший бік рівняння:

\[h^2 > 2dh\]

Зауважимо, що \(d\) та \(h\) є додатними значеннями, оскільки відстань та зміщення не можуть бути від"ємними. Тому, ми можемо поділити обидві частини нерівності на \(h\):

\[h > 2d\]

Таким чином, отримуємо, що зміщення апарату (\(h\)) повинне бути більше ніж подвійна початкова відстань (\(2d\)).

Таким чином, якщо гравітаційна сила Землі зменшилась, то космічний апарат знаходиться на відстані, меншій ніж подвійна початкова відстань.