Насколько увеличится объем конуса, если увеличить радиус его основания в 5 раз, а высоту оставить неизменной?

Pelikan

48

Чтобы решить эту задачу, давайте вначале вспомним формулу объема конуса. Объем конуса вычисляется по формуле:

\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\],

где \(V\) - объем конуса, \(\pi\) - число пи (приближенное значение 3.14), \(r\) - радиус основания конуса и \(h\) - высота конуса.

Согласно условию задачи, радиус основания конуса увеличивается в 5 раз. Пусть исходный радиус будет обозначен как \(r_0\), а новый радиус - \(r_1\). Тогда \(r_1 = 5 \cdot r_0\).

Высота конуса остается неизменной, то есть \(h_1 = h_0\).

Нам нужно найти разницу в объеме между исходным конусом (\(V_0\)) и новым конусом (\(V_1\)), то есть \(V_1 - V_0\).

Подставляя значения в формулу объема конуса, получаем:

\[V_0 = \frac{1}{3}\pi (r_0)^2 h_0\]

\[V_1 = \frac{1}{3}\pi (r_1)^2 h_1\]

Заменяя \(r_1\) на \(5 \cdot r_0\) и \(h_1\) на \(h_0\), получаем:

\[V_1 = \frac{1}{3}\pi (5 \cdot r_0)^2 h_0\]

\[V_1 = \frac{1}{3}\pi 25 r_0^2 h_0\]

Теперь вычислим разницу в объеме:

\[V_1 - V_0 = \frac{1}{3}\pi 25 r_0^2 h_0 - \frac{1}{3}\pi (r_0)^2 h_0\]

\[V_1 - V_0 = \frac{1}{3}\pi(25 r_0^2 h_0 - r_0^2 h_0)\]

\[V_1 - V_0 = \frac{1}{3}\pi r_0^2 h_0 (25 - 1)\]

\[V_1 - V_0 = \frac{1}{3}\pi r_0^2 h_0 (24)\]

Таким образом, объем нового конуса будет больше объема исходного конуса на \(8 \pi r_0^2 h_0\). В численном виде это равно \(8\) умноженное на число \(\pi\) и умноженное на квадрат радиуса основания исходного конуса, и на его высоту.