Найди длину меньшего катета прямоугольного треугольника АВС, если высота ВН равна 26 и гипотенуза АС делится на отрезки

Muha

39

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой Пифагора и пропорциональностью отрезков на гипотенузе прямоугольного треугольника.

По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. То есть, \(AB^2 + BC^2 = AC^2\).

Мы знаем, что высота треугольника ВН равна 26, что значит, что площадь треугольника АВС можно выразить как \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot 26\).

Также, нам дано, что отрезок АС делится на два отрезка АН и НС в соотношении 4:9. Обозначим длину отрезка АН как 4х, где х - коэффициент пропорциональности. Тогда длина отрезка НС будет равна 9х. Сумма длин отрезков АН и НС равна длине гипотенузы АС, то есть \(4х + 9х = 13х\).

Теперь, объединим все найденные данные и решим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
AB^2 + BC^2 = AC^2 \\
\frac{1}{2} \cdot AB \cdot 26 = \frac{1}{2} \cdot 4х \cdot 26 \\
4х + 9х = 13х \\
\end{cases}
\]

Первое уравнение можно преобразовать, заменив \(AC^2\) на \(AB^2 + BC^2\):

\[
AB^2 + BC^2 = AB^2 + (AC - AB)^2
\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[
BC^2 = AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC + AB^2
\]

Теперь подставим найденные выражения:

\[
AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC + AB^2 = AB^2 + (4х + 9х)^2
\]

Упростим и получим:

\[
AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC = 13^2 \cdot x^2
\]

Из уравнения площади треугольника:

\[
\frac{1}{2} \cdot AB \cdot 26 = 4х \cdot 13х
\]

Решая второе уравнение относительно AB, получим:

\[
AB = \frac{104х^2}{26}
\]

Теперь, заменим AB в первом уравнении:

\[
AC^2 - 2 \cdot \left(\frac{104х^2}{26}\right) \cdot AC = 13^2 \cdot x^2
\]

Упростим выражение:

\[
AC^2 - 8х^2 \cdot AC = 169x^2
\]

Найдем значение AC:

\[
AC = \frac{8х^2}{2} + \sqrt{\left(\frac{8х^2}{2}\right)^2 + 4 \cdot 169x^2}
\]

Упростим:

\[
AC = 4х^2 + \sqrt{16x^4 + 676x^2}
\]

Теперь мы можем заменить все известные значения в третьем уравнении:

\[
4х + 9х = 13х
\]

Получается, что 13х равно AC:

\[
13х = 4х^2 + \sqrt{16x^4 + 676x^2}
\]

Теперь решим это уравнение относительно x. Для этого возводим все в квадрат и приводим подобные слагаемые:

\[
169x^2 = 16x^4 + 676x^2 + 32х^3 + 32х^3
\]

\[
0 = 16x^4 + 32х^3 + 145x^2
\]

Факторизуем это выражение:

\[
0 = x^2(16x^2 + 32x + 145)
\]

Упростим дальше:

\[
0 = 16x^2 + 32x + 145
\]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[
D = B^2 - 4AC = 32^2 - 4 \cdot 16 \cdot 145
\]

\[
D = 1024 - 928 = 96
\]

Теперь найдем значения x:

\[
x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-32 \pm \sqrt{96}}{32}
\]

\[
x_1 = \frac{-32 + \sqrt{96}}{32} \approx 0.224
\]

\[
x_2 = \frac{-32 - \sqrt{96}}{32} \approx -1.474
\]

Ответ: меньший катет прямоугольного треугольника равен приблизительно 0.224.