Какова площадь полной поверхности тетраэдра с ребром равным

Лаки

7

Для начала, давайте вспомним, что такое тетраэдр. Тетраэдр - это геометрическое тело, состоящее из 4-х треугольных граней. Каждая грань треугольника соединена с каждой другой гранью треугольника общей вершиной.

Теперь, давайте продолжим с решением задачи. У нас есть тетраэдр, у которого длина каждого ребра равна \(a\). Нам нужно найти площадь полной поверхности этого тетраэдра.

Площадь полной поверхности тетраэдра состоит из площадей всех его граней. У этого тетраэдра есть 4 грани, поэтому нам нужно найти площадь каждой грани и затем сложить их.

Учитывая, что длина каждого ребра равна \(a\), давайте начнем с рассмотрения одной из граней. Каждая грань - это треугольник. Площадь треугольника можно найти с помощью формулы Герона:

\[S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}\]

Где \(S\) - площадь треугольника, \(p\) - полупериметр треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника.

В нашем случае, каждая сторона треугольника равна \(a\) (поскольку у нас равнобедренный треугольник). Поэтому мы можем заменить \(a\), \(b\), \(c\) на \(a\) в формуле Герона.

Теперь нам нужно найти полупериметр треугольника \(p\). У нас есть все стороны треугольника равны \(a\), поэтому полупериметр можно найти следующим образом:

\[p = \frac{{3a}}{2}\]

Подставив значения в формулу Герона, получаем:

\[S = \sqrt{\frac{{3a}}{2} \cdot (\frac{{3a}}{2} - a) \cdot (\frac{{3a}}{2} - a) \cdot (\frac{{3a}}{2} - a)}\]

Упрощая эту формулу, мы получаем:

\[S = \sqrt{\frac{{3a}}{2} \cdot \frac{{a}}{2} \cdot \frac{{a}}{2} \cdot \frac{{a}}{2}}\]