Найдите длины векторов ad и cd в треугольнике abc, в котором проведена биссектриса bd. Известно, что длины сторон

Lazernyy_Reyndzher

20

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о биссектрисе треугольника.

Согласно данной теореме, биссектриса треугольника делит противоположную ей сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.

Таким образом, мы можем воспользоваться формулой биссектрисы, которая гласит:

\[\frac{{ad}}{{cd}} = \frac{{ab}}{{bc}}\]

Подставим известные значения из условия задачи: \(ab = 6\) см и \(bc = 10\) см:

\[\frac{{ad}}{{cd}} = \frac{{6}}{{10}}\]

Перемножаем обе части уравнения на \(10\) для удобства:

\[10 \cdot ad = 6 \cdot cd\]

Получаем уравнение:

\[10ad = 6cd\]

Теперь мы можем найти отношение между длинами векторов \(ad\) и \(cd\):

\[\frac{{ad}}{{cd}} = \frac{{10}}{{6}}\]

Далее, применим теорему Пифагора для нахождения длин третьей стороны треугольника.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Применяя теорему Пифагора к треугольнику \(abc\), можем записать:

\[ab^2 + ac^2 = bc^2\]

Подставим известные значения:

\[6^2 + ac^2 = 10^2\]

\[36 + ac^2 = 100\]

Выразим \(ac^2\):

\[ac^2 = 100 - 36 = 64\]

Получим:

\[ac = \sqrt{64} = 8\]

Теперь, зная длину стороны \(ac\), мы можем найти длину векторов \(ad\) и \(cd\).

Зная, что \(ac = ad + cd\), можем записать:

\[8 = ad + cd\]

Так как мы ранее получили уравнение \(10ad = 6cd\), можем выразить один из векторов через другой:

\[ad = \frac{3}{5}cd\]

Подставим данное выражение в уравнение \(8 = ad + cd\):

\[8 = \frac{3}{5}cd + cd\]

\[8 = \frac{8}{5}cd\]

Умножаем обе части уравнения на \(\frac{5}{8}\):

\[cd = \frac{5}{8} \cdot 8 = 5\]

Таким образом, длина вектора \(cd\) равна 5 см.

Теперь найдем длину вектора \(ad\), подставив найденное значение \(cd\) в уравнение \(10ad = 6cd\):

\[10ad = 6 \cdot 5\]

\[10ad = 30\]

\[ad = \frac{30}{10} = 3\]

Таким образом, длина вектора \(ad\) равна 3 см.

Итак, мы получили, что длины векторов \(ad\) и \(cd\) в треугольнике \(abc\) равны соответственно 3 см и 5 см.