Найдите другой корень многочлена x^4-2x^3-8x-16 с действительными коэффициентами (кроме заданного корня

Зимний_Вечер

10

Хорошо, чтобы найти другой корень многочлена \(x^4-2x^3-8x-16\), мы можем использовать теорему Безу. Эта теорема говорит о том, что если число \(a\) является корнем многочлена, то многочлен делится без остатка на \(x-a\).

Итак, давайте найдем первый корень многочлена. Мы знаем, что этот корень уже задан, поэтому мы можем использовать любой метод, который нам удобен. Попробуем использовать пробное и ошибочное деление.

Подставим в многочлен \(x^4-2x^3-8x-16\) значение заданного корня в надежде, что многочлен обратится в 0. Если это не происходит, значит, мы должны выбрать другое значение произвольно и попробовать снова.

Допустим, заданный корень равен \(r\), а \(r = 2\). Подставим его в многочлен:

\[
(2)^4 - 2(2)^3 - 8(2) - 16
\]

Вычисляем:

\[
16 - 2(8) - 16 - 16 = 16 - 16 - 16 - 16 = -32
\]

Так как мы получили результат, отличный от нуля, это значит, что \(x - 2\) не является делителем многочлена.

Теперь пришло время применить теорему Безу. Мы можем разделить многочлен \(x^4-2x^3-8x-16\) на \(x-2\) с помощью синтетического деления или обычного деления со счетом.

Проведем синтетическое деление:

\[
\begin{array}{|c c c c c|c|}
\hline
2 & 1 & -2 & -8 & -16 \\
& & 2 & 0 & -16 \\ \hline
2 & 3 & 0 & -8 & 0 \\ \hline
\end{array}
\]

После деления мы получаем квадратный трехчлен \(2x^2 + 3x - 8\). Теперь нам нужно найти корни этого трехчлена.

Решим его с помощью факторизации или квадратного уравнения:

\[
2x^2 + 3x - 8 = 0
\]

Факторизуем его:

\[
(x - 1)(2x + 8) = 0
\]

Из уравнения выше получаем два корня: \(x = 1\) и \(x = -4\).

Итак, многочлен \(x^4-2x^3-8x-16\) имеет два корня: \(x = 2\) и \(x = 1\).

Я надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять, как найти другие корни многочлена.