Каково наименьшее значение координаты x точек касания касательной к графику функции y=x3+5x2−5x−18, если

Григорьевна

3

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо найти координаты точки касания касательной к графику функции, которая параллельна заданной прямой.

Возможно, вы уже знаете, что касательная к графику функции является прямой, которая касается графика в определенной точке и имеет такой же угловой коэффициент, как и функция в этой точке.

Угловой коэффициент функции \(y = x^3 + 5x^2 - 5x - 18\) можно найти, взяв производную этой функции. Будем обозначать производную функции как \(f"(x)\).

Таким образом, выразим производную \(f"(x)\) функции \(y = x^3 + 5x^2 - 5x - 18\):

\[f"(x) = 3x^2 + 10x - 5\]

Мы знаем, что касательная параллельна заданной прямой \(y = 3x + 30\). У данной прямой угловой коэффициент равен 3, поскольку она имеет вид \(y = mx + b\), где \(m\) - угловой коэффициент.

Теперь мы можем найти точку касания, приравняв угловые коэффициенты \(f"(x)\) и 3:

\[3 = 3x^2 + 10x - 5\]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

\[3x^2 + 10x - 5 - 3 = 0\]
\[3x^2 + 10x - 8 = 0\]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта \(\Delta = b^2 - 4ac\).

Для уравнения \(3x^2 + 10x - 8 = 0\), коэффициент \(a = 3\), коэффициент \(b = 10\) и коэффициент \(c = -8\).

Вычислим дискриминант:

\[\Delta = (10)^2 - 4(3)(-8) = 100 + 96 = 196\]

Так как дискриминант положителен (\(\Delta > 0\)), у нас есть два корня:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\]
\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\]

Подставим значения в формулу:

\[x_1 = \frac{-10 + \sqrt{196}}{2(3)} = \frac{-10 + 14}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]
\[x_2 = \frac{-10 - \sqrt{196}}{2(3)} = \frac{-10 - 14}{6} = \frac{-24}{6} = -4\]

Наименьшим значением координаты \(x\) точек касания будет \(x_2 = -4\).

Таким образом, наименьшее значение координаты \(x\) точек касания касательной к графику функции будет -4.