Найдите экстремумы у функции y=1/3x^3-x^2

Корова

5

Конечно, я помогу вам решить задачу. Чтобы найти экстремумы функции \(y = \frac{1}{3}x^3 - x^2\), нам необходимо найти производную функции и приравнять её к нулю. Затем мы найдем значения x, при которых производная равна нулю, и проверим, являются ли эти точки экстремумами.

Шаг 1: Найдем производную функции. Для этого возьмем прозводную каждого члена функции по переменной x:
\[y" = \frac{d}{dx} (\frac{1}{3}x^3 - x^2)\]
\[y" = \frac{d}{dx} (\frac{1}{3}x^3) - \frac{d}{dx} (x^2)\]
\[y" = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{dx}(x^3) - 2 \cdot \frac{d}{dx}(x^2)\]
\[y" = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 2 \cdot 2x\]
\[y" = x^2 - 4x\]

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
\[x^2 - 4x = 0\]

Шаг 3: Решим полученное квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти значения x:
\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0\]
\[D = 16\]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных вещественных корня. Решим квадратное уравнение:
\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{16}}{2} = \frac{4 + 4}{2} = 4\]
\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{16}}{2} = \frac{4 - 4}{2} = 0\]

Шаг 4: Теперь мы найдем значения функции y при каждом из найденных значений x:
\[y_1 = \frac{1}{3}(4)^3 - (4)^2 = \frac{1}{3}(64) - 16 = \frac{64}{3} - 16 = \frac{64 - 48}{3} = \frac{16}{3}\]
\[y_2 = \frac{1}{3}(0)^3 - (0)^2 = \frac{1}{3}(0) - 0 = 0\]

Итак, мы получили две точки экстремума: (0, 0) и (4, \(\frac{16}{3}\)).

Для проверки типов экстремумов (минимум, максимум) найдем значения второй производной.
\[y"" = \frac{d^2}{dx^2} (x^2 - 4x) = \frac{d}{dx} (2x - 4) = 2\]

Так как вторая производная равна положительному константному значению 2, точка (4, \(\frac{16}{3}\)) является минимумом, а точка (0, 0) является максимумом.

Надеюсь, данное пошаговое решение было понятным и полезным! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте их!