Найдите минимальное и максимальное значение функции y=cosx на интервале от 3п/4 до 11п/6 с помощью объяснения

Gosha

5

Чтобы найти минимальное и максимальное значение функции \(y = \cos x\) на заданном интервале от \(\frac{3\pi}{4}\) до \(\frac{11\pi}{6}\), мы можем использовать знания о графике функции \(\cos x\) и ее периодичности.

Функция \(\cos x\) представляет собой график косинусной волны, который повторяется каждые \(2\pi\) радиан и имеет максимальное значение 1 и минимальное значение -1. Также стоит отметить, что косинусная функция является четной функцией, что означает, что значения функции симметричны относительно оси ординат.

Наша цель состоит в том, чтобы найти точки на заданном интервале, где функция достигает минимального и максимального значения.

1. Начнем с нахождения минимального значения. Обратите внимание, что на интервалах сдвига графика косинусной функции относительно начала координат, минимальное значение \(\cos x\) достигается, когда \(x\) имеет наибольшее возможное отрицательное значение (ближе к \(-\infty\)). Начало заданного интервала \(\frac{3\pi}{4}\) находится ближе к \(\pi > \frac{11\pi}{6}\), поэтому будем искать минимальное значение в точке \(\frac{11\pi}{6}\).

2. Подставим значение \(x = \frac{11\pi}{6}\) в функцию \(\cos x\) и найдем соответствующее значение \(y\):
\[y = \cos \left(\frac{11\pi}{6}\right) = \cos \left(\frac{6\pi + 5\pi}{6}\right) = \cos \left(\pi + \frac{5\pi}{6}\right)\]

Используя свойства косинуса, мы знаем, что \(\cos (\pi + \theta) = -\cos \theta\), поэтому:
\[y = -\cos \left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]

Таким образом, минимальное значение функции \(y = \cos x\) на заданном интервале равно \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\).

3. Теперь найдем максимальное значение. Поскольку косинусная функция является периодической с периодом \(2\pi\), мы можем найти максимальное значение нашей функции, рассмотрев ее значение на промежутке \(x\) от \(3\pi/4 + 2\pi\) до \(11\pi/6 + 2\pi\). Так как эти значения равны \(11\pi/4\) и \(23\pi/6\) соответственно и находятся на одинаковой высоте от оси ординат, мы можем сказать, что максимальное значение функции на заданном интервале будет таким же, как и минимальное значение \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Таким образом, минимальное и максимальное значение функции \(y = \cos x\) на интервале от \(\frac{3\pi}{4}\) до \(\frac{11\pi}{6}\) равно \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\).