Найдите объем призмы, если цилиндр описан вокруг прямоугольного треугольника с острым углом 30° градусов в основании

Солнечный_Бриз

56

Данная задача связана с геометрией и требует нахождения объема призмы. Для начала, давайте рассмотрим основу призмы, которая представляет собой прямоугольный треугольник с острым углом в 30° градусов.

Зная, что диаметр основания цилиндра равен 70 см, можно рассчитать его радиус. Радиус (r) получается путем деления диаметра (D) на 2:

$$r=\frac{D}{2}=\frac{70}{2}=35\text{см}$$

Так как угол в основании прямоугольного треугольника равен 30° градусов, то у нас есть два равных катета. Обозначим их через a. Таким образом, a = a.

Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:

$$a^2+a^2=c^2$$

Где c - гипотенуза треугольника, которая равна диагонали грани цилиндра. Обозначим диагональ через d.
Так как дано, что диагональ образует угол 60° градусов с плоскостью основания призмы, то угол между гипотенузой и одним из катетов составляет 60° градусов. У нас есть прямоугольный треугольник, в котором сумма углов равна 180° градусов. Следовательно, основной угол между катетами составляет 90° - 60° = 30° градусов.

Таким образом, углы в прямоугольном треугольнике равны: 30°, 60° и 90°.

Теперь рассчитаем значения катетов прямоугольного треугольника. Используем тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника:

$$\sin (\text{угол})=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$
$$\cos (\text{угол})=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$
$$\tan (\text{угол})=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$$

У нас есть угол 30° градусов и один из катетов a. Угол в 30° градусов противолежит катету a, следовательно, мы можем использовать соотношения синуса и косинуса:

$$\sin (30°)=\frac{a}{c}$$

Так как треугольник прямоугольный, применяем соотношение косинуса:

$$\cos (30°)=\frac{a}{c}$$

Воспользуемся известным соотношением синуса и косинуса угла:

$$\sin (30°)=\cos (60°)$$

Попробуем решить эти уравнения, подставив значение синуса и косинуса угла:

$$\frac{1}{2}=\frac{a}{c}$$
$$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{c}$$

Следовательно, решениями являются:

$$a=\frac{c}{2}$$
$$a=\frac{2c\sqrt{3}}{3}$$

Теперь перейдем к нахождению объема призмы. Объем призмы определяется по формуле:

$$V_{\text{призмы}}=S_{\text{основания}}\cdot h$$

Где S - площадь основания призмы, а h - высота призмы.

Площадь основания призмы определяется по формуле для площади прямоугольного треугольника:

$$S_{\text{основания}}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot c$$

Таким образом, мы можем найти площадь основания призмы, используя ранее найденные значения для катетов a и c.

Высота призмы определяется как длина диагонали большей боковой грани цилиндра. Обозначим длину диагонали через d.

Теперь мы можем записать окончательную формулу для объема призмы:

$$V_{\text{призмы}}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot d$$

Подставим значения для a, c и d:

$$V_{\text{призмы}}=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{2c\sqrt{3}}{3}\right)\cdot c\cdot d$$

Учитывая, что диаметр основания цилиндра равен 70 см, длина диагонали большей боковой грани образует угол 60° градусов с плоскостью основания призмы, мы можем использовать тригонометрическое соотношение для нахождения длины диагонали:

$$\sin (60°)=\frac{r}{d}$$

После подстановки известных значений, получим:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{35}{d}$$

Решая уравнение, найдем значение d:

$$d=\frac{35\cdot 2}{\sqrt{3}}=\frac{70}{\sqrt{3}}$$

Теперь, подставляя полученные значения a, c и d в формулу для объема призмы, получим окончательный ответ:

$$V_{\text{призмы}}=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{2c\sqrt{3}}{3}\right)\cdot c\cdot \left(\frac{70}{\sqrt{3}}\right)$$

$$V_{\text{призмы}}=\frac{c^2\cdot 70}{3}$$

Теперь мы можем рассчитать объем призмы, зная значение c.

Если Вам нужна более подробная информация или есть вопросы по решению, пожалуйста, сообщите.