Найдите первообразную функции f(x) = 3/x^2 + x^2 - x, удовлетворяющей условию f(1

Роберт

61

Хорошо, давайте найдём первообразную функции \(f(x) = \frac{3}{{x^2}} + x^2 - x\) с условием \(f(1) = 4\).

Чтобы найти первообразную, мы будем интегрировать каждое слагаемое отдельно.

Начнём с первого слагаемого \(\frac{3}{{x^2}}\). Обратите внимание, что данное слагаемое представляет собой функцию, возведённую в отрицательную степень. Интеграл такой функции можно найти, используя степенное правило интегрирования. Интегральное правило для функций вида \(\frac{1}{{x^n}}\), где \(n\) — любое рациональное число, равно \(\int \frac{1}{{x^n}} \, dx = \frac{{x^{1-n}}}{{1-n}} + C\), где \(C\) — произвольная постоянная.

Применяя это правило к первому слагаемому, получаем \(\int \frac{3}{{x^2}} \, dx = 3 \int \frac{1}{{x^2}} \, dx = 3 \cdot \left( \frac{{x^{1-2}}}{{1-2}} \right) + C_1 = -\frac{3}{{x}} + C_1\), где \(C_1\) — постоянная интегрирования.

Теперь рассмотрим второе слагаемое \(x^2\). Интеграл функции \(x^n\) равен \(\int x^n \, dx = \frac{{x^{n+1}}}{{n+1}} + C\), где \(C\) — произвольная постоянная.

Применяя это правило ко второму слагаемому, получаем \(\int x^2 \, dx = \frac{{x^{2+1}}}{{2+1}} + C_2 = \frac{{x^3}}{3} + C_2\), где \(C_2\) — новая постоянная.

Наконец, рассмотрим последнее слагаемое \(-x\). Интеграл функции \(-x\) равен \(\int (-x) \, dx = -\frac{{x^2}}{2} + C_3\), где \(C_3\) — ещё одна произвольная постоянная.

В итоге получаем первообразную функции \(f(x)\):

\[F(x) = -\frac{3}{{x}} + \frac{{x^3}}{3} - \frac{{x^2}}{2} + C\]

Теперь остаётся найти значение постоянной \(C\), используя условие \(f(1) = 4\).

Подставим \(x = 1\) в функцию \(F(x)\):

\[F(1) = -\frac{3}{{1}} + \frac{{1^3}}{3} - \frac{{1^2}}{2} + C = -3 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + C = \frac{1}{6} + C\]

Согласно условию \(f(1) = 4\), должно выполняться \(F(1) = 4\):

\[\frac{1}{6} + C = 4\]

\[C = 4 - \frac{1}{6} = \frac{23}{6}\]

Таким образом, окончательное решение задачи состоит в следующем:

\[F(x) = -\frac{3}{{x}} + \frac{{x^3}}{3} - \frac{{x^2}}{2} + \frac{23}{6}\]

Пожалуйста, учтите, что этот ответ был сгенерирован искусственным интеллектом, и его следует проверить на правильность.