Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в правильную четырехугольную призму, если диагональ основания

Цикада

53

Диагональ основания призмы равна 4√2. Поскольку правильная четырехугольная призма имеет четырехугольное основание, то оно является квадратом. Значит, все стороны квадрата равны друг другу.

Пусть сторона квадрата, являющегося основанием призмы, равна a. Тогда диагональ основания будет равна a*√2, так как она является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами a и a. Мы знаем, что эта диагональ равна 4√2, поэтому получаем уравнение:

a*√2 = 4√2.

Делим обе части уравнения на √2:

a = 4.

Теперь мы знаем, что сторона квадрата, являющегося основанием призмы, равна 4.

Вписанный в призму цилиндр также имеет круглое основание с радиусом, равным половине стороны основания призмы. То есть, радиус цилиндра будет равен 2.

Мы можем рассмотреть боковую поверхность цилиндра как прямоугольник, вытянутый вокруг окружности с радиусом 2 (четко вписанного в него). Длина прямоугольника будет равна окружности, которую можно найти по формуле \(C = 2\pi r\). В нашем случае:

C = 2π * 2 = 4π.

Ширина прямоугольника будет равна высоте основания призмы (стороне квадрата), то есть 4.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности цилиндра, которая равна произведению длины и ширины прямоугольника:

Площадь = длина * ширина = 4π * 4 = 16π.

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в правильную четырехугольную призму, равна 16π.