Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, если длины оснований равны

Магический_Тролль

13

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть дана равнобедренная трапеция, в которой длины ее оснований равны \( a \) и \( b \). Определим радиус окружности, вписанной в эту трапецию.

1. Нарисуем равнобедренную трапецию:

\[
\begin{array}{cccccc}
& & & \underline{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad} & & \\
& & / & & \backslash & \\
& / & & & & \backslash \\
/ & & & & & & \backslash \\
\end{array}
\]

2. Соединим середины боковых сторон трапеции отрезком:

\[
\begin{array}{cccccc}
& & & \underline{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad} & & \\
& & / & & \backslash & \\
& / & & & & \backslash \\
/ & & & & & & \backslash \\
& & \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad & \underline{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad}
\end{array}
\]

3. Этот отрезок является высотой трапеции. Обозначим его через \( h \).

4. Также, соединим вершины трапеции с центром окружности. Обозначим точки пересечения отрезка \( h \) с основаниями трапеции через \( C \) и \( D \).

\[
\begin{array}{cccccc}
& & & & C & \\
& & / & & \backslash & \\
& / & & & & \backslash \\
/ & & & O & & & \backslash \\
& & \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad & & \backslash \\
& & & & D & \\
\end{array}
\]

5. Теперь заметим, что радиус окружности, вписанной в трапецию, будет перпендикулярен ее основаниям. Пусть мы обозначим радиус через \( r \).

6. Тогда получаем, что \( OC = r \) и \( OD = r \).

7. По свойству радиуса, отрезки \( OC \), \( OD \) и \( h \) являются высотами в треугольниках \( OBC \) и \( OBD \).

8. Заметим, что треугольники \( OBC \) и \( OBD \) являются равнобедренными, так как у них равны основания (стороны трапеции).

9. По свойству высоты в равнобедренном треугольнике, отрезки, проведенные из вершины равнобедренного треугольника к основаниям, делят основание пополам.

10. Таким образом, получаем, что \( OC = OD = \frac{a+b}{2} \).

11. Но мы уже знаем, что \( OC = r \) и \( OD = r \), значит, радиус окружности будет равен половине суммы оснований:

\[
r = \frac{a+b}{2}
\]

Итак, мы получили, что радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию с основаниями \( a \) и \( b \), равен \( \frac{a+b}{2} \).