Найдите решение уравнения. cos(п 2 - х) + sin3x

Камень_5452

50

Конечно! Давайте решим данное уравнение пошагово.

1. Начнем с уравнения:

\(\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin(3x)\)

2. Рассмотрим первый член уравнения \(\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\). Мы знаем, что \(\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)\), так как \(\cos(\frac{\pi}{2} - x)\) - это значение косинуса дополнительного угла к \(x\), который равен \(\frac{\pi}{2}\).

Таким образом, уравнение преобразуется в:

\(\sin(x) + \sin(3x)\)

3. Для удобства решения воспользуемся тригонометрической формулой суммы синусов:

\(\sin(a) + \sin(b) = 2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right)\)

Применим эту формулу к нашему уравнению:

\(2\sin\left(\frac{x + 3x}{2}\right)\cos\left(\frac{x - 3x}{2}\right)\)

4. Упростим выражение:

\(2\sin(2x)\cos(-x)\)

5. Заметим, что \(\cos(-x) = \cos(x)\), так как косинус является четной функцией. Тогда уравнение преобразуется в:

\(2\sin(2x)\cos(x)\)

6. Теперь у нас есть уравнение \(2\sin(2x)\cos(x) = \sin(x) + \sin(3x)\). Мы можем заметить, что оба члена уравнения содержат \(\sin(x)\).

Вынесем \(\sin(x)\) за скобку и получим:

\(\sin(x)(2\cos(x) - 1) = \sin(2x)\cos(x)\)

7. Мы знаем, что \(\sin(x) = 0\) является тривиальным решением уравнения.

Для поиска остальных решений разделим обе части уравнения на \(\sin(x)\):

\(2\cos(x) - 1 = \frac{\sin(2x)\cos(x)}{\sin(x)}\)

8. Используя формулу двойного аргумента для синуса, преобразуем \(\frac{\sin(2x)}{\sin(x)}\):

\(\frac{2\sin(x)\cos(x)}{\sin(x)}\cos(x)\)

Упростим:

\(2\cos^2(x)\)

9. Вернемся к уравнению:

\(2\cos(x) - 1 = 2\cos^2(x)\)

10. Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения. Пусть \(t = \cos(x)\):

\(2t - 1 = 2t^2\)

11. Перенесем все члены влево:

\(2t^2 - 2t + 1 = 0\)

12. Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение в общем виде или воспользоваться формулой дискриминанта. Воспользуемся формулой дискриминанта.

Для уравнения \(at^2 + bt + c = 0\), дискриминант \(D\) вычисляется по формуле:

\(D = b^2 - 4ac\)

13. Подставим значения \(a = 2\), \(b = -2\), и \(c = 1\) в формулу дискриминанта:

\(D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4\)

14. Мы получили отрицательное значение дискриминанта. Это означает, что квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение:

\(\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \sin(3x) = 0\)

не имеет решений в действительных числах.

Надеюсь, что этот подробный ответ помог вам понять задачу и процесс ее решения.