Найдите скорость каждого пешехода, если расстояние между двумя поселками равно 12 км, и первый пешеход проходит

Sergeevich_8577

56

Давайте начнем решать данную задачу.

Пусть скорость первого пешехода будет \(v_1\) км/ч, а скорость второго пешехода - \(v_2\) км/ч.

Зная формулу \(скорость = \frac{расстояние}{время}\), мы можем записать следующие уравнения:

Для первого пешехода:
\[v_1 = \frac{12\,км}{t_1}\]

Для второго пешехода:
\[v_2 = \frac{12\,км}{t_2}\]

Где \(t_1\) - время, за которое первый пешеход проходит расстояние, а \(t_2\) - время, за которое второй пешеход проходит расстояние. Заметим, что по условию первый пешеход проходит путь на 1 час быстрее второго, то есть \(t_1 = t_2 + 1\).

Также по условию известно, что второй пешеход проходит расстояние на 2 км больше, чем первый за 2 часа, то есть \(v_2 = v_1 + 2\).

Теперь мы можем объединить все уравнения и решить систему уравнений, чтобы найти значения \(v_1\) и \(v_2\).

Заменим \(v_2\) в уравнении для второго пешехода:
\[\frac{12\,км}{t_2} = \frac{12\,км}{t_1} + 2\]

Подставим \(t_1 = t_2 + 1\):
\[\frac{12\,км}{t_2} = \frac{12\,км}{t_2 + 1} + 2\]

Умножим оба выражения на \(t_2(t_2 + 1)\), чтобы избавиться от знаменателей:
\[12\,км \cdot t_2(t_2 + 1) = 12\,км \cdot t_2 + 2 \cdot t_2(t_2 + 1)\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\[12\,км \cdot (t_2^2 + t_2) = 12\,км \cdot t_2 + 2t_2^2 + 2t_2\]

\[12\,км \cdot t_2^2 + 12\,км \cdot t_2 = 12\,км \cdot t_2 + 2t_2^2 + 2t_2\]

\[12\,км \cdot t_2^2 = 2t_2^2 + 2t_2\]

\[10\,км \cdot t_2^2 = 2t_2^2 + 2t_2\]

\[8\,км \cdot t_2^2 - 2t_2^2 = 2t_2\]

\[6\,км \cdot t_2^2 = 2t_2\]

\[\frac{6\,км \cdot t_2^2}{2t_2} = 1\]

\[3\,км \cdot t_2 = 1\]

\[t_2 = \frac{1}{3}\,ч\]

Теперь, когда мы нашли значение \(t_2\), мы можем найти скорость второго пешехода \(v_2\):

\[v_2 = \frac{12\,км}{t_2} = \frac{12\,км}{\frac{1}{3}\,ч} = 36\,км/ч\]

Из условия задачи также следует, что \(v_1 = v_2 - 2 = 36\,км/ч - 2\,км/ч = 34\,км/ч\).

Таким образом, скорость каждого пешехода равна: первого пешехода - 34 км/ч, второго пешехода - 36 км/ч.

Проверим ответ, подставив найденные значения в уравнения:

Для первого пешехода:
\[34\,км/ч = \frac{12\,км}{t_1}\]
\[t_1 = \frac{12\,км}{34\,км/ч} = \frac{6}{17}\,ч\]

Для второго пешехода:
\[36\,км/ч = \frac{12\,км}{t_2}\]
\[t_2 = \frac{12\,км}{36\,км/ч} = \frac{1}{3}\,ч\]

Как мы видим, значения \(t_1\) и \(t_2\) совпадают с найденными ранее. Таким образом, наше решение верно.