Найдите угол ABC в треугольнике ABC, если радиус вписанной окружности треугольника EBD вдвое больше радиуса вписанной

Zvezdopad_V_Kosmose

61

Для начала, обозначим следующие величины:
\(r_1\) - радиус вписанной окружности треугольника EBD,
\(r_2\) - радиус вписанной окружности треугольника ABC.

Также, обратим внимание, что радиус вписанной окружности треугольника ABC считается общим для всех трёх треугольников.

Мы знаем, что радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника EBD вдвое больше радиуса вписанной окружности треугольника ABC, то есть
\(r_1 = 2 \cdot r_2\).

Известный нам факт о радиусе вписанной окружности в прямоугольном треугольнике позволяет нам выразить радиусы через стороны треугольников:
\(r_1 = \frac{{a + b - c}}{2}\),
\(r_2 = \frac{{a + b + c}}{2}\),
где a, b и c - стороны треугольника ABC.

Теперь, с помощью полученных выражений, мы можем решить задачу.

1. Из уравнения \(r_1 = 2 \cdot r_2\) выразим \(r_2\) через \(r_1\):
\(r_2 = \frac{{r_1}}{2}\).

2. Подставим полученное значение \(r_2\) в уравнение для радиуса \(r_2\):
\(\frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{r_1}}{2}\).

3. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:
\(a + b + c = r_1\).

4. Также нам известно, что радиус вписанной окружности треугольника ABC равен \(r_2\):
\(r_2 = \frac{{a + b + c}}{2}\).

5. Подставим полученное выражение для радиуса вписанной окружности треугольника ABC в уравнение:
\(r_2 = \frac{{a + b + c}}{2} = r_1\).

6. Зная, что \(r_1 = 2 \cdot r_2\), подставим полученное значение \(r_2\) в уравнение:
\(r_2 = \frac{{a + b + c}}{2} = 2 \cdot r_2\).

7. Разделим обе части уравнения на \(r_2\):
\(\frac{{a + b + c}}{2 \cdot r_2} = 2\).

8. Умножим обе части уравнения на \(\frac{2}{a + b + c}\):
\(\frac{1}{{r_2}} = \frac{1}{{a + b + c}}\).

9. Обратим обе части уравнения:
\(r_2 = \frac{1}{{a + b + c}}\).

Таким образом, мы получили \(r_2 = \frac{1}{{a + b + c}}\). Отсюда можно заключить, что радиус вписанной окружности треугольника ABC равен \(\frac{1}{{a + b + c}}\).

Чтобы найти угол ABC, мы можем воспользоваться формулой для расчета площади треугольника через стороны и радиус вписанной окружности:
\[S = r \cdot p\],
где S - площадь треугольника, r - радиус вписанной окружности, p - полупериметр треугольника.

Так как радиус вписанной окружности равен \(\frac{1}{{a + b + c}}\), а полупериметр равен \(\frac{{a + b + c}}{2}\), можем записать:
\[S = \frac{1}{{a + b + c}} \cdot \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{1}{2}\].

Далее, мы можем использовать формулу для нахождения площади треугольника через стороны:
\[S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)}\],
где p - полупериметр треугольника, a, b, c - стороны треугольника.

Подставляем известные значения:
\(\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{a + b + c}{2} \cdot \left(\frac{a + b + c}{2} - a\right) \cdot \left(\frac{a + b + c}{2} - b\right) \cdot \left(\frac{a + b + c}{2} - c\right)}\).

Мы можем упростить уравнение:
\(\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{a + b + c}{2} \cdot \left(\frac{b + c - a}{2}\right) \cdot \left(\frac{a + c - b}{2}\right) \cdot \left(\frac{a + b - c}{2}\right)}\).

Теперь умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от квадратного корня:
\(1 = \sqrt{\frac{(a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b - c)}{4}}\).

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы убрать квадратный корень:
\[1^2 = \left(\frac{(a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b - c)}{4}\right)\].

Таким образом, мы получили следующее уравнение:
\[1 = \frac{(a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b - c)}{4}.\]

Теперь, чтобы найти угол ABC, мы можем воспользоваться соотношением между площадью треугольника и синусом угла:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin{C},\]
где a и b - стороны треугольника, C - угол между сторонами a и b.

Подставляем известные значения:
\(\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin{C}\).

Мы можем сократить дроби:
\(1 = a \cdot b \cdot \sin{C}\).

Делим обе части уравнения на \(a \cdot b\):
\(\frac{1}{a \cdot b} = \sin{C}\).

Теперь, чтобы найти угол ABC, возьмем арксинус от обеих частей уравнения:
\(\arcsin{\left(\frac{1}{a \cdot b}\right)} = C\).

Таким образом, мы получили значение угла ABC равным \(\arcsin{\left(\frac{1}{a \cdot b}\right)}\).

Итак, чтобы найти угол ABC в треугольнике ABC, необходимо вычислить \(\arcsin{\left(\frac{1}{a \cdot b}\right)}\).