Какова сумма наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения 4sin^2 2x=3?

Тигресса_9089

37

Давайте решим данное уравнение по шагам:

Шаг 1: Приведение уравнения к более простому виду.

У нас есть уравнение \(4\sin^2(2x) = 3\). Мы знаем, что \(\sin^2(2x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(4x)\). Мы можем заменить \(\sin^2(2x)\) на \(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(4x)\):

\[4(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(4x)) = 3\]

Шаг 2: Раскрытие скобок.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

\[2 - 2\cos(4x) = 3\]

Шаг 3: Перенос всех терминов на одну сторону.

Перенесем все термины на одну сторону, чтобы уравнение было равно нулю:

\[2\cos(4x) - 1 = 0\]

Шаг 4: Решение уравнения \(\cos(4x) - \frac{1}{2} = 0\).

Теперь нам нужно решить уравнение \(\cos(4x) - \frac{1}{2} = 0\). Давайте найдем все корни этого уравнения.

\[2\cos(4x) - 1 = 0\]
\(\cos(4x) - \frac{1}{2} = 0\) - расположим уравнение в более привычной форме.
\(\cos(4x) = \frac{1}{2}\) - добавим константу \(\frac{1}{2}\) на обе стороны уравнения.

Находим значения \(4x\) при которых \(\cos(4x) = \frac{1}{2}\).
Одно из таких значений это \(30^\circ\) или \(\frac{\pi}{6}\) радиан. Другое значение будет противоположным \(330^\circ\) или \(\frac{11\pi}{6}\) радиан.

Шаг 5: Находим \(x\).

Теперь нам нужно найти значения \(x\) при данных значениях \(4x\).
Для \(4x = \frac{\pi}{6}\), делим \(\frac{\pi}{6}\) на 4, что дает \(x = \frac{\pi}{24}\).

Для \(4x = \frac{11\pi}{6}\), делим \(\frac{11\pi}{6}\) на 4, что дает \(x = \frac{11\pi}{24}\).

У уравнения может быть и другие корни. Таким образом, существует бесконечное множество решений.

Шаг 6: Находим сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней.

Снациала, у вас есть несколько вопросов в вашей постановке задачи. Во-первых, она не имеет ограничений на промежуток, на котором нам следует искать решения, и во-вторых, она спрашивает о сумме наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней из множества всех корней.

Мы с вами нашли два корня, \(x = \frac{\pi}{24}\) и \(x = \frac{11\pi}{24}\). Следовательно, наименьший положительный и наибольший отрицательный корни для данного уравнения - это \(x = \frac{\pi}{24}\) и \(x = \frac{11\pi}{24}\) соответственно.

Чтобы найти их сумму, просто сложите эти два значения:

\[\frac{\pi}{24} + \frac{11\pi}{24} = \frac{12\pi}{24} = \frac{\pi}{2}\]

Таким образом, сумма наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней данного уравнения равна \(\frac{\pi}{2}\).

Надеюсь, что мой ответ был понятен и исчерпывающим. Если у вас возникли какие-либо дополнительные вопросы, пожалуйста, позвольте мне знать. Я всегда готов помочь!