Найдите все значения x, для которых tgx равняется -1, и эти значения лежат в интервале (-270°; 270°) (запишите значения

Никита

51

Для решения этой задачи, нам нужно найти все значения \(x\), при которых тангенс \(x\) равен -1, и это значение \(x\) находится в интервале (-270°; 270°).

Так как тангенс равен отношению синуса к косинусу, мы можем записать уравнение:

\[\tan{x} = \frac{{\sin{x}}}{{\cos{x}}} = -1\]

Для нахождения решений данного уравнения, мы начнем с предположения, что \(\sin{x} = a\) и \(\cos{x} = b\), где \(a\) и \(b\) - это отношения синуса и косинуса величины \(x\).

Теперь мы можем переписать уравнение в виде:

\[\frac{a}{b} = -1\]

Перемножив обе части на \(b\), мы получим:

\[a = -b\]

Теперь мы знаем, что отношение синуса к косинусу равно -1, и исходя из этого, мы можем сказать, что синус и косинус угла должны быть равными по значению (с точностью до знака).

Рассмотрим значения синуса и косинуса для углов от -270° до 270°, чтобы найти значения \(x\):

\[
\begin{align*}
x_1 &= -135°\\
x_2 &= 135°
\end{align*}
\]

Проверим данные значения:

Для \(x_1 = -135°\):
\[
\begin{align*}
\sin{(-135)} &= -\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\cos{(-135)} &= \frac{\sqrt{2}}{2}\\
\end{align*}
\]
Теперь найдем величину \(\tan{(-135)}\):
\[
\tan{(-135)} = \frac{\sin{(-135)}}{\cos{(-135)}} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1
\]
Таким образом, \(x_1 = -135°\) удовлетворяет условию задачи.

Для \(x_2 = 135°\):
\[
\begin{align*}
\sin{(135)} &= \frac{\sqrt{2}}{2}\\
\cos{(135)} &= -\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\end{align*}
\]
Теперь найдем величину \(\tan{(135)}\):
\[
\tan{(135)} = \frac{\sin{(135)}}{\cos{(135)}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1
\]
Таким образом, \(x_2 = 135°\) также удовлетворяет условию задачи.

Итак, все значения \(x\), при которых \(\tan{x} = -1\) и \(x\) лежит в интервале (-270°; 270°), равны -135° и 135°.