Найдите значение угла между векторами AC и B1D1 в кубе abcda1b1c1d1. Найдите угол между векторами AB и B1C1 в кубе

Лёха

45

Давайте решим эти задачи, чтобы определить значения углов между векторами в заданном кубе abcda1b1c1d1.

1. Найдем значение угла между векторами AC и B1D1:
Для начала, найдем координаты векторов AC и B1D1.
Вектор AC определяется разностью координат конечной точки C и начальной точки A. Пусть координаты точки A составляют вектор (x1, y1, z1), а точки C - (x2, y2, z2). Тогда вектор AC будет равен (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).
Аналогично, вектор B1D1 будет равен (x4 - x3, y4 - y3, z4 - z3), где (x3, y3, z3) - координаты точки D1, а (x4, y4, z4) - координаты точки B1.

Найденные векторы AC и B1D1 можно обозначить как \(\vec{V}_1\) и \(\vec{V}_2\) соответственно.

Теперь найдем скалярное произведение этих векторов: \(\vec{V}_1 \cdot \vec{V}_2 = (x2 - x1)(x4 - x3) + (y2 - y1)(y4 - y3) + (z2 - z1)(z4 - z3)\).
Запишем координаты вершин куба: А(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0), A1(0, 0, 1), B1(1, 0, 1), C1(1, 1, 1), D1(0, 1, 1).
Подставляя значения, получим \(\vec{V}_1 \cdot \vec{V}_2 = (1 - 0)(1 - 0) + (1 - 0)(0 - 1) + (0 - 0)(0 - 1) = 1 - 1 + 0 = 0\).

Далее, найдем длины векторов AC и B1D1.
Длина вектора AC равна \(|\vec{V}_1| = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2}\).
В нашем случае, длина вектора AC будет равна \(\sqrt{(1 - 0)^2 + (1 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{2}\).
Аналогично, длина вектора B1D1 равна \(\sqrt{(x4 - x3)^2 + (y4 - y3)^2 + (z4 - z3)^2}\).
В нашем случае, длина вектора B1D1 будет равна \(\sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - 1)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{2}\).

Наконец, найдем значение угла между векторами AC и B1D1 используя формулу для скалярного произведения и длин векторов:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{V}_1 \cdot \vec{V}_2}{|\vec{V}_1| \cdot |\vec{V}_2|}\).
Подставим значения: \(\cos{\theta} = \frac{0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 0\).

Таким образом, угол между векторами AC и B1D1 в кубе abcda1b1c1d1 равен 0 градусов.

2. Найдем значение угла между векторами AB и B1C1:
Повторим аналогичные шаги для векторов AB и B1C1.
Координаты точек A и B уже известны.
Таким образом, вектор AB будет равен (1 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (1, 0, 0).

Теперь найдем координаты точек B1 и C1.
Координаты точки B1 составляют вектор (1, 0, 1), а координаты точки C1 - (1, 1, 1).
Вектор B1C1 будет равен (1 - 1, 1 - 0, 1 - 1) = (0, 1, 0).

Найдем длины векторов AB и B1C1:
Для вектора AB, длина будет равна \(|\vec{V}_3| = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = 1\).
Для вектора B1C1, длина будет равна \(|\vec{V}_4| = \sqrt{(0 - 0)^2 + (1 - 0)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{2}\).

Найдем значение угла между векторами AB и B1C1:
\(\cos{\theta} = \frac{\vec{V}_3 \cdot \vec{V}_4}{|\vec{V}_3| \cdot |\vec{V}_4|} = \frac{(1, 0, 0) \cdot (0, 1, 0)}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{0}{\sqrt{2}} = 0\).

Следовательно, угол между векторами AB и B1C1 в кубе abcda1b1c1d1 также равен 0 градусов.

3. Определим значение угла между векторами AB1:
Вектор AB1 задан в условии как вектор, соединяющий точки A и B1: (1 - 0, 0 - 0, 1 - 0) = (1, 0, 1).

Найдем длину вектора AB1: \(|\vec{V}_5| = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{2}\).

Таким образом, угол между векторами AB1 в кубе abcda1b1c1d1 равен 0 градусов.