Найдите значение выражения cos 10п/6 cos 8п/6 - sin 8п/6 sin 10п/6

Амелия

33

Хорошо, давайте разберем эту задачу по шагам:

Шаг 1: Разложение тригонометрических функций

Нам нужно найти значение выражения
\(\cos \left(\frac{{10\pi}}{{6}}\right) \cos \left(\frac{{8\pi}}{{6}}\right) - \sin \left(\frac{{8\pi}}{{6}}\right) \sin \left(\frac{{10\pi}}{{6}}\right)\)

Для начала выразим углы в радианах:
\(\frac{{10\pi}}{{6}} = \frac{{5\pi}}{{3}}\) и \(\frac{{8\pi}}{{6}} = \frac{{4\pi}}{{3}}\)

Затем разложим косинусы и синусы этих углов:
\(\cos \frac{{5\pi}}{{3}} = \cos\left(\pi - \frac{{\pi}}{{3}}\right) = -\cos \frac{{\pi}}{{3}} = -\frac{{1}}{{2}}\)
\(\cos \frac{{4\pi}}{{3}} = \cos\left(\pi + \frac{{\pi}}{{3}}\right) = -\cos \frac{{\pi}}{{3}} = -\frac{{1}}{{2}}\)
\(\sin \frac{{8\pi}}{{6}} = \sin \pi = 0\)
\(\sin \frac{{10\pi}}{{6}} = \sin\left(\pi - \frac{{\pi}}{{3}}\right) = \sin \frac{{\pi}}{{3}} = \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}\)

Теперь мы можем переписать наше выражение в следующем виде:
\(-\frac{{1}}{{2}} \cdot -\frac{{1}}{{2}} - 0 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}\)

Шаг 2: Вычисление значения выражения

Давайте вычислим это выражение:

\(-\frac{{1}}{{2}} \cdot -\frac{{1}}{{2}} - 0 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{2}} = \frac{{1}}{{4}}\)

Ответ: Значение выражения равно \(\frac{{1}}{{4}}\).

Я надеюсь, данное пошаговое решение помогло вам понять, как получить правильный ответ. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.