Найдите значение выражения (-sinb*cosb-3)/(6cos^2b-sin^2b), если tgb=-2

Lizonka

18

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

По условию, дано, что \( \tan \beta = -2 \).

Шаг 1: Найдем значение \(\cos \beta\).

Мы знаем, что \(\tan \beta = \frac{{\sin \beta}}{{\cos \beta}}\). Также мы можем выразить \(\sin \beta\) через \(\cos \beta\) с использованием тождества Пифагора: \(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1\).

Преобразуем данное уравнение, чтобы получить выражение для \(\sin \beta\):

\(\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta\).

Теперь мы можем подставить это выражение для \(\sin \beta\) в уравнение \(\tan \beta\):

\(\frac{{\sin \beta}}{{\cos \beta}} = -2\).

Домножим обе части уравнения на \(\cos \beta\), чтобы избавиться от дроби:

\(\sin \beta = -2 \cos \beta\).

Шаг 2: Найдем значение \(\sin \beta\) и \(\cos \beta\).

Вычислим квадраты обеих сторон уравнения \(\sin \beta = -2 \cos \beta\):

\(\sin^2 \beta = 4 \cos^2 \beta\).

Теперь подставим полученное выражение для \(\sin^2 \beta\) в уравнение \(\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1\), чтобы получить квадратное уравнение для \(\cos \beta\):

\(4 \cos^2 \beta + \cos^2 \beta = 1\).

Складываем коэффициенты при \(\cos^2 \beta\) и решаем полученное квадратное уравнение:

\(5 \cos^2 \beta = 1\).

Делим обе части уравнения на 5:

\(\cos^2 \beta = \frac{1}{5}\).

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\(\cos \beta = \pm \sqrt{\frac{1}{5}}\).

Так как \(\cos \beta\) является косинусом угла, который может быть положительным или отрицательным, мы получаем два возможных значения для \(\cos \beta\):

\(\cos \beta = \sqrt{\frac{1}{5}}\) или \(\cos \beta = -\sqrt{\frac{1}{5}}\).

Шаг 3: Найдем значение выражения \((- \sin \beta \cdot \cos \beta - 3)/(6 \cos^2 \beta - \sin^2 \beta)\), используя значения \(\sin \beta\) и \(\cos \beta\), которые мы нашли ранее.

Подставим значения в данное выражение:

\[
\frac{{- (\sin \beta) \cdot (\cos \beta) - 3}}{{6 \cos^2 \beta - \sin^2 \beta}}
\]

\[
= \frac{{- (-2 \cos \beta) \cdot (\cos \beta) - 3}}{{6 \cos^2 \beta - (4 \cos^2 \beta)}}
\]

\[
= \frac{{2 \cos^2 \beta - 3}}{{2 \cos^2 \beta}}
\]

\[
= \frac{{2 \left(\frac{1}{5}\right) - 3}}{{2 \left(\frac{1}{5}\right)}}
\]

\[
= \frac{{\frac{2}{5} - 3}}{{\frac{2}{5}}}
\]

\[
= \frac{{\frac{2}{5} - \frac{15}{5}}}{{\frac{2}{5}}}
\]

\[
= \frac{{- \frac{13}{5}}}{{\frac{2}{5}}}
\]

\[
= \frac{{-13}}{{2}}
\]

Таким образом, значение данного выражения равно \(-\frac{13}{2}\).

Надеюсь, что данный ответ был подробным и понятным для вас! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.