Найдите значение x в уравнении cos^2 x - (1/2)sin2x + cosx = sinx. ( с комментариями

Космическая_Следопытка_9542

54

Хорошо, давайте решим данное уравнение шаг за шагом.

Исходное уравнение:
\(\cos^2 x - \frac{1}{2}\sin 2x + \cos x = \sin x\)

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать тригонометрические тождества и свойства. Давайте начнем пошаговое решение:

Шаг 1: Приведение подобных выражений
Перепишем уравнение с учетом того, что \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\):

\(\cos^2 x - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x) + \cos x = \sin x\)

Теперь у нас получилось:

\(\cos^2 x - \sin x \cos x + \cos x = \sin x\)

Шаг 2: Перенос всех слагаемых на одну сторону уравнения
Вычтем \(\sin x\) из обеих частей уравнения:

\(\cos^2 x - \sin x \cos x + \cos x - \sin x = 0\)

Получим:

\(\cos^2 x - \sin x \cos x + \cos x - \sin x = 0\)

Шаг 3: Факторизация и упрощение

Разложим левую часть уравнения на множители:

\((\cos x - \sin x)(\cos x + 1) = 0\)

Теперь у нас есть два множителя, которые равны нулю:

\(\cos x - \sin x = 0\) или \(\cos x + 1 = 0\)

Шаг 4: Решение полученных уравнений

4.1. Для \(\cos x - \sin x = 0\):
Выразим \(\cos x\) через \(\sin x\):

\(\cos x = \sin x\)

Разделим обе части уравнения на \(\sin x\), при условии, что \(\sin x \neq 0\):

\(\frac{\cos x}{\sin x} = 1\)

Теперь, используя тригонометрическое тождество \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\), получаем:

\(\tan x = 1\)

То есть, \(x = \frac{\pi}{4} + \pi n\), где \(n\) - целое число.

4.2. Для \(\cos x + 1 = 0\):
Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

\(\cos x = -1\)

Здесь мы получаем, что \(x = \pi + 2\pi n\), где \(n\) - целое число.

Итак, общие решения уравнения \(\cos^2 x - \frac{1}{2}\sin 2x + \cos x = \sin x\) имеют вид:

\(x = \frac{\pi}{4} + \pi n\) и \(x = \pi + 2\pi n\), где \(n\) - целое число.

Это и есть ответ на данную задачу. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, задавайте.