Найти площадь области, которую ограничивает прямая с уравнением 2x + 3y - 6 = 0 и координатные

  • 49
Найти площадь области, которую ограничивает прямая с уравнением 2x + 3y - 6 = 0 и координатные оси.
Солнце
49
Понял! Давайте найдем площадь области, ограниченной прямой с уравнением 2x+3y6=0 и координатными осями.

Для начала, давайте сконвертируем уравнение прямой в форму, которую легче использовать для нахождения площади. Для этого, давайте решим уравнение относительно y:

2x+3y6=0

Для этого, вычтем 2x из обеих частей:

3y6=2x

Прибавим 6 к обеим частям:

3y=2x+6

Затем разделим обе части на 3:

y=23x+2

Теперь мы можем представить уравнение прямой в виде y=mx+c, где m - это коэффициент наклона, а c - это константа. В нашем случае, m=23 и c=2.

Теперь давайте построим график прямой, чтобы понять, каким образом она ограничивает область.

xy0230

Мы нарисовали прямую, проходящую через точки (0, 2) и (3, 0). Теперь нарисуем координатные оси x и y.

xy023000

Теперь мы видим, что прямая проходит через точки (0, 2), (3, 0) и (0, 0). Область, ограниченная этой прямой и координатными осями, имеет форму треугольника.

Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу для площади треугольника: S=12ah, где a - это основание треугольника, а h - это высота треугольника.

Так как основание треугольника - это сторона, перпендикулярная прямой, то основание равно расстоянию между точками (0, 2) и (3, 0). Мы можем вычислить его, используя теорему Пифагора.

Расстояние между двумя точками (x1,y1) и (x2,y2) вычисляется по формуле: d=(x2x1)2+(y2y1)2

В нашем случае:

d=(30)2+(02)2=9+4=13

Таким образом, основание треугольника равно 13.

Высота треугольника - это расстояние от вершины треугольника (точка (0, 0)) до прямой. Можем использовать формулу для расстояния от точки до прямой:

d=|Ax+By+C|A2+B2

В нашем случае A=2, B=3 и C=6. Подставим значения в формулу:

d=|20+30+(6)|22+32=|6|4+9=613

Таким образом, высота треугольника равна 613.

Теперь мы можем найти площадь треугольника, подставив значения основания и высоты в формулу:

S=1213613=126=3

Итак, площадь области, ограниченной прямой 2x+3y6=0 и координатными осями, равна 3 единицам квадратным.