Найти площадь области, которую ограничивает прямая с уравнением 2x + 3y - 6 = 0 и координатные

Солнце

49

Понял! Давайте найдем площадь области, ограниченной прямой с уравнением \(2x + 3y - 6 = 0\) и координатными осями.

Для начала, давайте сконвертируем уравнение прямой в форму, которую легче использовать для нахождения площади. Для этого, давайте решим уравнение относительно \(y\):

\[2x + 3y - 6 = 0\]

Для этого, вычтем \(2x\) из обеих частей:

\[3y - 6 = -2x\]

Прибавим 6 к обеим частям:

\[3y = -2x + 6\]

Затем разделим обе части на 3:

\[y = -\frac{2}{3}x + 2\]

Теперь мы можем представить уравнение прямой в виде \(y = mx + c\), где \(m\) - это коэффициент наклона, а \(c\) - это константа. В нашем случае, \(m = -\frac{2}{3}\) и \(c = 2\).

Теперь давайте построим график прямой, чтобы понять, каким образом она ограничивает область.

\[
\begin{array}{c|c}
x & y \\
\hline
0 & 2 \\
3 & 0
\end{array}
\]

Мы нарисовали прямую, проходящую через точки (0, 2) и (3, 0). Теперь нарисуем координатные оси x и y.

\[
\begin{array}{c|c}
x & y \\
\hline
0 & 2 \\
3 & 0 \\
0 & 0
\end{array}
\]

Теперь мы видим, что прямая проходит через точки (0, 2), (3, 0) и (0, 0). Область, ограниченная этой прямой и координатными осями, имеет форму треугольника.

Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу для площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\), где \(a\) - это основание треугольника, а \(h\) - это высота треугольника.

Так как основание треугольника - это сторона, перпендикулярная прямой, то основание равно расстоянию между точками (0, 2) и (3, 0). Мы можем вычислить его, используя теорему Пифагора.

Расстояние между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) вычисляется по формуле: \(d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\)

В нашем случае:

\[
d = \sqrt{{(3 - 0)^2 + (0 - 2)^2}} = \sqrt{{9 + 4}} = \sqrt{{13}}
\]

Таким образом, основание треугольника равно \(\sqrt{{13}}\).

Высота треугольника - это расстояние от вершины треугольника (точка (0, 0)) до прямой. Можем использовать формулу для расстояния от точки до прямой:

\[d = \frac{{|Ax + By + C|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2}}}}\]

В нашем случае \(A = 2\), \(B = 3\) и \(C = -6\). Подставим значения в формулу:

\[d = \frac{{|2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + (-6)|}}{{\sqrt{{2^2 + 3^2}}}} = \frac{{|-6|}}{{\sqrt{{4 + 9}}}} = \frac{6}{\sqrt{13}}\]

Таким образом, высота треугольника равна \(\frac{6}{\sqrt{13}}\).

Теперь мы можем найти площадь треугольника, подставив значения основания и высоты в формулу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{6}{\sqrt{13}} = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\]

Итак, площадь области, ограниченной прямой \(2x + 3y - 6 = 0\) и координатными осями, равна 3 единицам квадратным.