Не понимаю ограничений. 1) Как изменится выражение xn = 5n+2/3n+4 при n, стремящемся к бесконечности? 2) Что произойдет

Сладкая_Вишня

33

Хорошо! Давайте начнем с каждой задачи по порядку и постараемся дать максимально подробные ответы:

1) В выражении \(x_n = \frac{5n + 2}{3n + 4}\), когда \(n\) стремится к бесконечности, мы должны рассмотреть, как ведут себя числитель и знаменатель. В данном случае, коэффициенты \(5n\) и \(2\) в числителе становятся доминирующими по сравнению с коэффициентами \(3n\) и \(4\) в знаменателе.

Рассмотрим предел отношения \(\frac{5n}{3n}\) при \(n\) стремящемся к бесконечности. Мы замечаем, что коэффициенты \(5\) и \(3\) являются самыми влиятельными в данном случае. Таким образом, предел этого отношения равен \(\frac{5}{3}\).

Итак, когда \(n\) стремится к бесконечности, выражение \(x_n\) будет стремиться к \(\frac{5}{3}\).

2) Рассмотрим функцию \(x_n = \frac{n^2 - n + 2}{3n^2 + 7}\), когда \(n\) стремится к бесконечности. Для этого мы также анализируем ведение числителя и знаменателя.

В данном случае, когда \(n\) стремится к бесконечности, коэффициенты \(n^2\) в числителе и \(3n^2\) в знаменателе становятся доминирующими. Остальные члены \(n\) и константы \(1\) и \(2\) становятся менее значимыми по сравнению с \(n^2\).

Рассмотрим предел отношения \(\frac{n^2}{3n^2}\) при \(n\) стремящемся к бесконечности. Мы видим, что коэффициенты \(1\) и \(3\) являются влиятельными. Таким образом, предел этого отношения равен \(\frac{1}{3}\).

Следовательно, когда \(n\) стремится к бесконечности, функция \(x_n\) будет стремиться к \(\frac{1}{3}\).

3) Рассмотрим выражение \(x_n = \frac{1 + 2 + \ldots + n}{n^2}\), когда \(n\) стремится к бесконечности. В данном случае, нам нужно проанализировать сумму чисел в числителе и знаменатель.

Сумма чисел от \(1\) до \(n\) обозначается символом \(\frac{n(n+1)}{2}\). Получается, что и числитель, и знаменатель растут пропорционально \(n^2\).

Рассмотрим предел отношения \(\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2}\) при \(n\) стремящемся к бесконечности. Мы видим, что коэффициенты \(n(n+1)\) и \(n^2\) являются влиятельными. Если мы разделим числитель и знаменатель на \(n^2\), то получим:

\[
\frac{\frac{n(n+1)}{2n^2}}{1}
\]

Упростим выражение:

\[
\frac{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{2}
\]

Когда \(n\) стремится к бесконечности, эти дроби устремляются к нулю. Таким образом, предел отношения равен \(\frac{0}{2} = 0\).

Итак, когда \(n\) стремится к бесконечности, выражение \(x_n\) будет стремиться к \(0\).

4) Наконец, рассмотрим функцию \(x_n = \frac{\sqrt{3n+5}}{2n-1}\), когда \(n\) стремится к бесконечности. Для этой функции анализируем поведение числителя и знаменателя.

При \(n\), стремящемся к бесконечности, как и в предыдущих случаях, наиболее влиятельными оказываются члены с наивысшей степенью. В числителе имеем корень \(\sqrt{3n}\), а в знаменателе - \(2n\).

Рассмотрим предел отношения \(\frac{\sqrt{3n}}{2n}\) при \(n\) стремящемся к бесконечности. Мы видим, что коэффициенты \(\sqrt{3n}\) и \(2n\) являются влиятельными. Если мы разделим числитель и знаменатель на \(2n\), то получим:

\[
\frac{\sqrt{\frac{3n}{4}}}{1}
\]

Когда \(n\) стремится к бесконечности, выражение \(\frac{3n}{4}\) растет бесконечно. Таким образом, корень из этого выражения будет стремиться к бесконечности.

Итак, когда \(n\) стремится к бесконечности, функция \(x_n\) будет стремиться к бесконечности.

Надеюсь, это помогает вам понять изменения в этих выражениях при \(n\), стремящемся к бесконечности. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!