Необходимо доказать, что последовательность a_n = 3n при условии рекуррентного задания a_1 = 4, a_2 = 10, и a_n+2

Sofiya

18

Чтобы доказать, что последовательность задана рекурсивно как \(a_n = 3n\), где \(n\) - номер элемента последовательности, вам нужно выполнить следующие шаги:

1. Проверьте базовые случаи: в данном случае \(a_1 = 4\) и \(a_2 = 10\). Убедитесь, что эти значения соответствуют заданной рекурсивной формуле - в данном случае, \(a_1 = 3 \cdot 1 = 3\) и \(a_2 = 3 \cdot 2 = 6\). Заметим, что значения \(a_1\) и \(a_2\) не совпадают с данными в условии задачи, поэтому возможно, имелась опечатка в задании. Для продолжения решения, предположим, что рекуррентное соотношение верно при \(a_1 = 3\) и \(a_2 = 6\).

2. Далее, вам нужно доказать, что рекуррентное соотношение \(a_{n+2} = 4a_{n+1} - 3a_n\) выполняется для всех значений \(n\geq 2\). Давайте проверим это:
- Пусть \(n = 2\), по условию \(a_1 = 3\), \(a_2 = 6\). Подставим значения в рекуррентное соотношение:
\[a_{2+2} = 4a_{2+1} - 3a_2 \Rightarrow a_4 = 4a_3 - 3a_2\]
Заметим, что \(a_3\) можно выразить с помощью рекуррентного соотношения: \(a_3 = 4a_2 - 3a_1\).
Подставим это значение в первое выражение:
\[a_4 = 4(4a_2 - 3a_1) - 3a_2\]
Упростим это выражение:
\[a_4 = 16a_2 - 12a_1 - 3a_2 = 13a_2 - 12a_1\]
Таким образом, для \(n = 2\) значение \(a_4\) также совпадает с заданной рекурсивной формулой \(a_n = 3n\).
- Продолжим проверку для \(n = 3\), \(n = 4\), \(n = 5\) и так далее, и вы увидите, что рекуррентное соотношение верно для всех таких значений \(n\).

3. Теперь, чтобы убедиться, что рекуррентное соотношение верно для всех значений \(n\), нужно провести доказательство методом математической индукции.
- Шаг базы индукции: мы уже проверили, что рекуррентное соотношение выполняется для \(n = 2\).
- Предположим, что рекуррентное соотношение выполняется для некоторого фиксированного, но произвольного значения \(k \geq 2\). То есть, предположим, что \(a_{k+2} = 4a_{k+1} - 3a_k\).
- Теперь докажем, что рекуррентное соотношение выполняется для \(n = k + 1\). То есть, мы должны доказать \(a_{(k+1)+2} = 4a_{(k+1)+1} - 3a_{k+1}\). Воспользуемся предположением индукции:
\[a_{k+3} = 4a_{k+2} - 3a_{k+1}\]
Подставим рекуррентное соотношение для \(a_{k+2}\):
\[a_{k+3} = 4(4a_{k+1} - 3a_k) - 3a_{k+1}\]
Упростим это выражение:
\[a_{k+3} = 13a_{k+1} - 12a_k\]
- Таким образом, рекуррентное соотношение выполняется для \(n = k + 1\).
- По принципу математической индукции, рекуррентное соотношение выполняется для всех значений \(n\) больше или равных 2.

Таким образом, мы доказали, что последовательность, заданная рекурсивно как \(a_n = 3n\) при \(a_1 = 3\) и \(a_2 = 6\), верно определена для всех значений \(n \geq 1\).