Какая кривая описывается уравнением x^2 − 2y +y^2 =3 и какие характеристики у неё есть?

Снегурочка

43

Чтобы понять, какая кривая описывается уравнением \(x^2 - 2y + y^2 = 3\), давайте рассмотрим его пошаговое решение.

1. Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить уравнение в стандартной форме. Для этого добавим \(2y\) к обоим сторонам:
\[x^2 + y^2 - 2y = 3\]

2. Перепишем уравнение, приведя подобные слагаемые:
\[x^2 + (y^2 - 2y) = 3\]

3. Далее, завершим квадрат, добавив и вычтя \(1\) к выражению \(y^2 - 2y\):
\[x^2 + (y^2 - 2y + 1 - 1) = 3\]

4. Раскроем скобки и перепишем уравнение:
\[x^2 + (y^2 - 2y + 1) - 1 = 3\]
\[x^2 + (y - 1)^2 - 1 = 3\]

5. Теперь приравняем \(x^2 + (y - 1)^2 - 1\) к \(3\) и получим окончательное уравнение:
\[x^2 + (y - 1)^2 - 1 = 3\]

Таким образом, данное уравнение описывает кривую, которая имеет следующие характеристики:

1. Центр кривой: координаты центра \(C\) кривой равны \(C(0, 1)\). Это можно увидеть из формы окончательного уравнения. Квадратичные члены в уравнении соответствуют квадратам расстояний от точек на кривой до данного центра.

2. Радиус: радиус этой кривой равен \(r = \sqrt{3 + 1} = 2\). Мы можем использовать окончательное уравнение, чтобы выразить радиус кривой.

3. Форма кривой: данное уравнение представляет собой окружность с центром в точке \((0, 1)\) и радиусом \(2\). Окружность - это кривая, все точки которой равноудалены от ее центра.

Таким образом, данное уравнение описывает окружность с центром в точке \((0, 1)\) и радиусом \(2\).