Объекты для вашего выбора: После исследования на экстремумы функции y=2x^3+3x^2-1, следующие утверждения оказались

Iskryaschiysya_Paren_4512

1

Для начала рассмотрим заданную функцию: \(y = 2x^3 + 3x^2 - 1\). Нам нужно исследовать ее на экстремумы.

Чтобы найти экстремумы функции, первым шагом мы должны найти производную функции и приравнять ее к нулю. Так как у нас есть кубический член \(2x^3\) в функции, это означает, что у нас будет несколько критических точек, и мы должны проверить каждую из них.

Возьмем производную функции \(y\) по \(x\):
\[y" = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2 - 1)\]

Применим правила дифференцирования:

\[
\begin{align*}
y" & = \frac{d}{dx}(2x^3) + \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(1) \\
& = 6x^2 + 6x
\end{align*}
\]

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение для нахождения критических точек:

\[6x^2 + 6x = 0\]

Разделим это уравнение на 6:

\[x^2 + x = 0\]

Теперь разложим это уравнение на множители:

\[x(x+ 1) = 0\]

Таким образом, мы получаем два решения уравнения: \(x = 0\) и \(x = -1\).

Теперь мы можем проверить каждую из найденных точек, чтобы увидеть, являются ли они экстремумами функции.

Для этого вычислим вторую производную:

\[y"" = \frac{d}{dx}(6x^2 + 6x)\]

Применим правила дифференцирования еще раз:

\[y"" = \frac{d}{dx}(6x^2) + \frac{d}{dx}(6x)\]

\[y"" = 12x + 6\]

Теперь подставим найденные критические точки во вторую производную, чтобы определить их тип:

1) Для \(x = 0\), \(y""(0) = 12(0) + 6 = 6\). Так как \(y""(0)\) положительно, это означает, что \(x = 0\) является точкой минимума функции.

2) Для \(x = -1\), \(y""(-1) = 12(-1) + 6 = -6\). Так как \(y""(-1)\) отрицательно, это означает, что \(x = -1\) является точкой максимума функции.

Таким образом, утверждения, которые оказались верными, это:

1) \(x = 0\) - точка минимума (экстремума);
2) \(x = -1\) - точка максимума (экстремума).

Функция имеет две точки экстремума: одну точку минимума при \(x = 0\) и одну точку максимума при \(x = -1\). Это подтверждает исследование функции на экстремумы и подтверждает верность утверждений 1) и 2). Утверждения 3), 4) и 5) оказались неверными.