Определите наибольшую кинетическую, наибольшую потенциальную и полную энергии материальной точки массой

Alisa

59

Для решения этой задачи нам необходимо использовать определения кинетической и потенциальной энергий.

Кинетическая энергия (К) материальной точки определяется по формуле:
\[ K = \frac{1}{2} m v^2 \]
где \( m \) - масса точки, \( v \) - скорость точки.

Потенциальная энергия (П) материальной точки, осциллирующей на пружине, определяется по формуле:
\[ П = \frac{1}{2} k x^2 \]
где \( k \) - коэффициент жесткости пружины, \( x \) - смещение точки от положения равновесия (амплитуда колебаний).

В данной задаче, у нас дано выражение для смещения точки от положения равновесия:
\[ x = 0.01 \sin(0.1t) \]

Для начала, найдем максимальное смещение точки (амплитуду колебаний). Очевидно, что амплитуда колебаний равна абсолютному значению максимального значения функции \(x(t)\), то есть:
\[ A = |0.01| = 0.01 \]

Теперь, чтобы найти максимальную кинетическую энергию (К), мы должны найти максимальную скорость точки (v). Когда точка достигает максимального смещения (амплитуды), скорость равна нулю. Поскольку функция \( x(t) \) представляет собой синусоидальную волну, максимальная скорость будет в точке, где синус имеет максимальное значение 1. То есть, когда \( \sin(0.1t) = 1 \).

Решая уравнение \( \sin(0.1t) = 1 \), мы получаем:
\[ 0.1t = \frac{\pi}{2} \]
\[ t = \frac{5\pi}{2} \]

Теперь, подставим этот момент времени в выражение для скорости \(v\):
\[ v = \frac{dx}{dt} = 0.01 \cdot 0.1 \cos(0.1t) \]

Подставим \(t = \frac{5\pi}{2}\) и рассчитаем скорость точки:
\[ v = 0.01 \cdot 0.1 \cdot \cos\left(0.1 \cdot \frac{5\pi}{2}\right) \]
\[ v = 0.01 \cdot 0.1 \cdot 1 \]
\[ v = 0.001 \]

Теперь можем найти максимальную кинетическую энергию (К) по формуле:
\[ K = \frac{1}{2} m v^2 \]

Подставляем значения массы (\(m = 8 \ г = 0.008 \ кг\)) и скорости (\(v = 0.001 \ м/с\)):
\[ K = \frac{1}{2} \cdot 0.008 \cdot (0.001)^2 \]
\[ K = 4 \cdot 10^{-8} \ Дж \]

Теперь, для определения максимальной потенциальной энергии (П), мы должны найти максимальное значение смещения точки (амплитуду колебаний). Мы уже ранее вычислили его и нашли, что \(A = 0.01\).

Теперь подставим эту амплитуду в формулу для потенциальной энергии (П):
\[ П = \frac{1}{2} k x^2 \]

В данной задаче у нас нет информации о коэффициенте жесткости пружины (\(k\)), поэтому мы не можем вычислить конкретное значение для потенциальной энергии (П) без дополнительных данных.

Итак, ответ на задачу:
Наибольшая кинетическая энергия составляет \(4 \cdot 10^{-8} \ Дж\).
Наибольшей потенциальной энергии нельзя вычислить без коэффициента жесткости пружины.